Pascal-szimplex

A matematikában a Pascal-szimplex a Pascal-háromszög és a Pascal-gúla multinomiális tételen alapuló általánosítása tetszőleges dimenzióra.

Általános Pascal-m-szimplex

Legyen m (m > 0) egy polinom tagjainak száma, és emeljük n-edik (n ≥ 0) hatványra.

Jelölje $\wedge ^{m}$ a Pascal-m-szimplexet. Minden Pascal-szimplex egy félig végtelen objektum, ami komponenseinek végtelen sorozatát tartalmazza.

Jelölje $\wedge _{n}^{m}$ ennek az n. komponensét. Ez egy véges (m − 1)-szimplex, aminek élhossza n. Ekvivalens jelöléssel $\vartriangle _{n}^{m-1}$.

Az n. komponens

$\wedge _{n}^{m}=\vartriangle _{n}^{m-1}$ az m tagból álló polinom n-edik hatványának együtthatóiból áll:

$|x|^{n}=\sum _{|k|=n}{{\binom {n}{k}}x^{k}};\ \ x\in \mathbb {R} ^{m},\ k\in \mathbb {N} _{0}^{m},\ n\in \mathbb {N} _{0},\ m\in \mathbb {N}$

ahol $\textstyle |x|=\sum _{i=1}^{m}{x_{i}},\ |k|=\sum _{i=1}^{m}{k_{i}},\ x^{k}=\prod _{i=1}^{m}{x_{i}^{k_{i}}}$.

Példa: $\wedge ^{4}$

A Pascal-4-szimplex (A189225 sorozat az OEIS-ben) szelete k₄ mentén. Az azonos színű pontok ugyanahhoz az altérhez tartoznak a pirostól (n = 0) a kékig (n = 3).

Speciális Pascal-szimplexek

Pascal-1-szimplex

A Pascal-1-szimplexnek nincsen más ismert neve.

n. elem

$\wedge _{n}^{1}=\vartriangle _{n}^{0}$ egy pont, ami egy egy tagból álló, n-edik hatványra emelt polinom együtthatóit tartalmazza:

$(x_{1})^{n}=\sum _{k_{1}=n}{n \choose k_{1}}x_{1}^{k_{1}};\ \ k_{1},n\in \mathbb {N} _{0}$

Az $\vartriangle _{n}^{0}$ elrendezése

$\textstyle {n \choose n}$

ami mindenn-re egyenlő eggyel.

Pascal-2-szimplex

$\wedge ^{2}$ ismert, mint: Pascal-háromszög (A007318 sorozat az OEIS-ben).

n. komponens

$\wedge _{n}^{2}=\vartriangle _{n}^{1}$ egy sor, ami egy két tagból álló polinom n. hatványának binomiális kifejtése:

$(x_{1}+x_{2})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}=n}{n \choose k_{1},k_{2}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}};\ \ k_{1},k_{2},n\in \mathbb {N} _{0}$

Az $\vartriangle _{n}^{1}$ elrendezése

$\textstyle {n \choose n,0},{n \choose n-1,1},\cdots ,{n \choose 1,n-1},{n \choose 0,n}$

Pascal-3-szimplex

$\wedge ^{3}$ nem más, mint a Pascal-tetraéder (A046816 sorozat az OEIS-ben).

n. komponens

$\wedge _{n}^{3}=\vartriangle _{n}^{2}$ háromszög egy 3 tagból álló polinom n-edik hatványának trinomiális együtthatói tartalmazza:

$(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=n}{n \choose k_{1},k_{2},k_{3}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}x_{3}^{k_{3}};\ \ k_{1},k_{2},k_{3},n\in \mathbb {N} _{0}$

Az $\vartriangle _{n}^{2}$ elrendezése

${\begin{aligned}\textstyle {n \choose n,0,0}&,\textstyle {n \choose n-1,1,0},\cdots \cdots ,{n \choose 1,n-1,0},{n \choose 0,n,0}\\\textstyle {n \choose n-1,0,1}&,\textstyle {n \choose n-2,1,1},\cdots \cdots ,{n \choose 0,n-1,1}\\&\vdots \\\textstyle {n \choose 1,0,n-1}&,\textstyle {n \choose 0,1,n-1}\\\textstyle {n \choose 0,0,n}\end{aligned}}$

Tulajdonságok

A komponensek öröklődése

$\wedge _{n}^{m}=\vartriangle _{n}^{m-1}$ szám szerint megegyezik $\vartriangle _{n}^{m}=\wedge _{n}^{m+1}$ (m − 1)-lapjával (számuk m + 1):

$\wedge _{n}^{m}=\vartriangle _{n}^{m-1}\subset \ \vartriangle _{n}^{m}=\wedge _{n}^{m+1}$

Ennélfogva $\wedge ^{m+1}$ (m + 1)-szer tartalmazza $\wedge ^{m}$-t:

$\wedge ^{m}\subset \wedge ^{m+1}$

Példa

        $\wedge ^{1}$         $\wedge ^{2}$        $\wedge ^{3}$         $\wedge ^{4}$

$\wedge _{0}^{m}$     1          1          1          1

$\wedge _{1}^{m}$     1         1 1        1 1        1 1  1
                              1          1

$\wedge _{2}^{m}$     1        1 2 1      1 2 1      1 2 1  2 2  1
                             2 2        2 2    2
                              1          1

$\wedge _{3}^{m}$     1       1 3 3 1    1 3 3 1    1 3 3 1  3 6 3  3 3  1
                            3 6 3      3 6 3    6 6    3
                             3 3        3 3      3
                              1          1

A fenti mátrix további tagjait az (A191358 sorozat az OEIS-ben) tartalmazza.

Az oldallapok szimmetriája

Az $\wedge _{n}^{m+1}=\vartriangle _{n}^{m}$ Pascal-szimplexet (m + 1)-szer $\vartriangle _{n}^{m-1}=\wedge _{n}^{m}$ határolja:

$\wedge _{n}^{m+1}=\vartriangle _{n}^{m}\supset \vartriangle _{n}^{m-1}=\wedge _{n}^{m}$

Innen következik, hogy minden n-re minden i-lap numerikusan egyenlő a Pascal-(m > i)-szimplexek n. komponensével:

$\wedge _{n}^{i+1}=\vartriangle _{n}^{i}\subset \vartriangle _{n}^{m>i}=\wedge _{n}^{m>i+1}$

Példa

A Pascal-3-szimplex 3. komponensét három egyenlő sor határolja. Mindegyik két 0-lapban végződik (csúcsok):

2-szimplex   2-szimplexek 1-lapjai         1-lapok 0-lapjai

 1 3 3 1    1 . . .  . . . 1  1 3 3 1    1 . . .   . . . 1
  3 6 3      3 . .    . . 3    . . .
   3 3        3 .      . 3      . .
    1          1        1        .

Tehát minden m-re és n-re:

$1=\wedge _{n}^{1}=\vartriangle _{n}^{0}\subset \vartriangle _{n}^{m-1}=\wedge _{n}^{m}$

Az együtthatók száma

A Pascal-m-szimplex n. komponense ((m − 1)-szimplex) ennyi multinomiális együtthatót tartalmaz:

${(n-1)+(m-1) \choose (m-1)}+{n+(m-2) \choose (m-2)}={n+(m-1) \choose (m-1)},$

azaz vagy az (n − 1). komponens ((m − 1)-szimplex) együtthatóinak darabszámának meg a Pascal-(m − 1)-szimplex n.-edik komponensének ((m − 2)-simplex) együtthatószámának összege, vagy az n. hatvány összes m részes partícióinak száma.

Példa

Az együtthatók száma a Pascal-m-szimplex n. komponensében ((m − 1)-szimplex)

m-simplex	n komponens	n = 0	n = 1	n = 2	n = 3	n = 4	n = 5
1-szimplex	0-simplex	1	1	1	1	1	1
2-szimplex	1-simplex	1	2	3	4	5	6
3-szimplex	2-simplex	1	3	6	10	15	21
4-szimplex	3-simplex	1	4	10	20	35	56
5-szimplex	4-simplex	1	5	15	35	70	126
6-szimplex	5-simplex	1	6	21	56	126	252

Ez a táblázat éppen a Pascal-háromszöget tartalmazza szimmetrikus Pascal-mátrix formájában.

Szimmetria

A Pascal-m-szimplex n. komponense (m!)-szorosan térszimmetrikus.

Geometria

Ha a k_1 ... k_m tengelyek ortogonálisak az m dimenziós térben, és a komponensek csúcsai ezekre a tengelyekre esnek, akkor a Pascal-m-szimplex csúcsa az origóban van.

Numerikus konstrukció

Egy elég nagy szám hatványa tördelve megadja a Pascal-szimplexet:

$\left|b^{dp}\right|^{n}=\sum _{|k|=n}{{\binom {n}{k}}b^{dp\cdot k}};\ \ b,d\in \mathbb {N} ,\ n\in \mathbb {N} _{0},\ k,p\in \mathbb {N} _{0}^{m},\ p:\ p_{1}=0,p_{i}=(n+1)^{i-2}$

ahol $\textstyle b^{dp}=(b^{dp_{1}},\cdots ,b^{dp_{m}})\in \mathbb {N} ^{m},\ p\cdot k={\sum _{i=1}^{m}{p_{i}k_{i}}}\in \mathbb {N} _{0}$.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Pascal's simplex című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.