Nyom (lineáris algebra)

Egy négyzetes mátrix nyoma (angolul trace, németül Spur) a főátlójában lévő elemek összege, azaz $A=(a_{i,j})_{n\times n}$ nyoma

$\mathrm {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}$.

A mátrix nyoma egyenlő a (komplex) sajátértékeinek összegével.

Példa

Az $A={\begin{pmatrix}2&-1&0\\6&-3&1\\-2&7&8\end{pmatrix}}$ mátrix nyoma $\mathrm {tr} (A)=2+(-3)+8=7$.

Tulajdonságok

A nyom lineáris leképezés, azaz azonos méretű $A,B$ négyzetes mátrixok és $c$ skalár esetén

$\mathrm {tr} (A+B)=\mathrm {tr} (A)+\mathrm {tr} (B),$

$\mathrm {tr} (cA)=c\mathrm {tr} (A).$

Négyzetes mátrix nyoma megegyezik transzponáltjának nyomával, azaz

$\mathrm {tr} (A^{T})=\mathrm {tr} (A).$

Ha $A,B$ azonos méretű négyzetes mátrixok, akkor a kétféle sorrendben vett szorzatuk nyoma egyenlő, azaz

$\mathrm {tr} (AB)=\mathrm {tr} (BA),$

azonban ez többtényezős szorzatok esetén a tényezők nem minden permutációja esetén, csak ciklikus permutációjukra teljesül. (Ez az azonosság egyébként nem csak akkor igaz, ha a tényezők négyzetes mátrixok, hanem akkor is, ha $A$ $m\times n$-es, $B$ $n\times m$-es mátrix, tehát $A,B$ mindkét sorrendben összeszorozhatók.)

Idempotens mátrix nyoma egyenlő a rangjával, nilpotens mátrix nyoma 0.

Források

Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK