A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A matematikában a Legendre-féle khi függvény egy olyan függvény, amelynek a Taylor-sora megegyezik a Dirichlet-sorával. Azaz
![{\displaystyle \chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85641adbee29a8bcc80b59bbc30f310923b02336)
Ezzel a polilogaritmus Dirichlet-sorára hasonlít, és valóban kifejezhető a polilogaritmussal:
![{\displaystyle \chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/473961aafa254e0c6ed4568ee2c404996271810b)
Megjelenik a diszkrét Fourier-transzformációban a ν rendet tekintve, a Hurwitz-féle zéta-függvénynél, és az Euler-polinomoknál.
A Lerch-transzcendens speciális esete, és megadható, mint
![{\displaystyle \chi _{\nu }(z)=2^{-\nu }z\,\Phi (z^{2},\nu ,1/2).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/652b20dd68973c42c8f5e4ae0b5eda8ac235152e)
Azonosságok
![{\displaystyle \chi _{2}(x)+\chi _{2}(1/x)={\frac {\pi ^{2}}{4}}-{\frac {i\pi }{2}}|\ln x|\qquad (x>0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ff3e97ceeffc39a23fdf25dcf2d2cd80277927)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\chi _{2}(x)={\frac {{\rm {arctanh\,}}x}{x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e768d28875ca560abb95769864f9cf9c791829)
Integrálkapcsolatok
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arcsin(r\sin \theta )d\theta =\chi _{2}\left(r\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f086b12c716cabc58db9f2b089e7f9c34f816f)
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arctan(r\sin \theta )d\theta =-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{\frac {r\theta \cos \theta }{1+r^{2}\sin ^{2}\theta }}d\theta =2\chi _{2}\left({\frac {{\sqrt {1+r^{2}}}-1}{r}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a923c9f8b759efcfb7ee85bd49c7456d29d367b7)
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arctan(p\sin \theta )\arctan(q\sin \theta )d\theta =\pi \chi _{2}\left({\frac {{\sqrt {1+p^{2}}}-1}{p}}\cdot {\frac {{\sqrt {1+q^{2}}}-1}{q}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a879748507911ddc3fbddbf1a96b16579e0dca)
![{\displaystyle \int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{\beta }{\frac {dxdy}{1-x^{2}y^{2}}}=\chi _{2}(\alpha \beta )\qquad {\rm {ha}}~~|\alpha \beta |\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23d0bb500c8b01bf55d1256e9dff78073962812b)
Források