Kommutátor (gyűrűelmélet)
Megjelenés
Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye. |
![]() |
Ennek a szócikknek hiányzik vagy nagyon rövid, illetve nem elég érthető a bevezetője. Kérjük, , ami jól összefoglalja a cikk tartalmát, vagy jelezd észrevételeidet a cikk vitalapján. |
Definíció
Legyen A és B egy olyan matematikai struktúra két eleme, melyben a szorzás és a kivonás is értelmezve van. Ekkor A és B kommutátorán a kétféle sorrendű szorzatuk különbségét értjük:
Ha valamely A és B elemekre , akkor azt mondjuk, hogy A és B felcserélhető, vagy kommutál. Ha valamely S struktúra minden A,B elemére , akkor azt mondjuk, hogy az S struktúra kommutatív.
Példák
- Az egész, racionális, valós és komplex számok szorzása kommutatív, azaz tetszőleges és számok esetén , így a kommutátor eltűnik.
- A funkcionálanalízisben (illetve annak kvantummechanikai alkalmazásában) nagy jelentőségű az operátorok kommutátora. Legyen H valamilyen vektortér, és A,B ennek operátorai (azaz önmagára való lineáris leképezései). Ekkor a szorzás a leképezések egymásutáni alkalmazása. A két operátor felcserélhetősége azt jelenti, hogy a H vektortér minden x elemére . Az operátorok szorzása általában nem kommutatív.
- A véges dimenziós vektorterek operátorai (bázis választásával) mátrixokkal reprezentálhatók. A mátrixok szorzása szintén nem kommutatív.