Kerületi és középponti szögek tétele

Kerületi és középponti szög

A kerületi és középponti szögek tétele egy geometriai tétel, mely kimondja, hogy adott körben adott ívhez tartozó kerületi szög mindig fele az ívhez tartozó középponti szögnek. Más megfogalmazásban: Adott körben adott ívhez tartozó középponti szög mindig kétszerese az ívhez tartozó kerületi szögnek. A tételből következményként adódik a Thalész-tétel.

Bizonyítása

A tételt hat alesetre bontva bizonyítjuk.

I. eset

A középponti szög egyik szára illeszkedik a – nem érintő szárú – kerületi szög egyik szárára.

I. eset

Legyen az adott kerületi szög a továbbiakban $\alpha$, a középponti szög pedig $\omega$. Az ábrán látható $BCO$ háromszög egyenlő szárú, mert $OC=OB=r$, ezért $C$-nél és $B$-nél lévő szöge egyaránt $\alpha$. Mivel $\omega$ ennek a háromszögnek külső szöge, egyenlő a két másik csúcsnál lévő belső szög összegével, azaz $\omega =2\alpha$.

II. eset

II. eset

A középponti szög a – nem érintő szárú – kerületi szög szögtartományába esik, nincs közös száruk.

Vegyük fel a $CO$ egyenest az ábra szerint, melynek a körrel való (nem $C$) metszéspontja legyen $D$. A $CD$ szakasz az $\alpha$ kerületi szöget $\alpha _{1}$ és $\alpha _{2}$ szögekre, $\omega$ középponti szöget $\omega _{1}$ és $\omega _{2}$ szögekre osztja.

Vegyük észre, hogy (a $C$-t nem tartalmazó) $AD$ és $BD$ ívekre az I. esetben már beláttuk, hogy $\omega _{1}=2\alpha _{1}$, illetve $\omega _{2}=2\alpha _{2}$.

Ezeket az egyenleteket összeadva kapjuk, hogy $\omega _{1}+\omega _{2}=2\alpha _{1}+2\alpha _{2}$, vagyis $\omega =2(\alpha _{1}+\alpha _{2})=2\alpha$.

III. eset

A középponti szög nem esik a – nem érintő szárú – kerületi szög szögtartományába.

III. eset

Vegyük fel a $CO$ egyenest az ábra szerint, melynek a körrel való (nem $C$) metszéspontja legyen $D$. Legyen $DCA\angle =\alpha _{1}$, $DCB\angle =\alpha _{2}$, $DOA\angle =\omega _{1}$ és $DOB\angle =\omega _{2}$.

Mivel (a $C$-t nem tartalmazó) $AD$ és $BD$ ívekre az I. esetben már beláttuk, hogy $\omega _{1}=2\alpha _{1}$, illetve $\omega _{2}=2\alpha _{2}$, az első egyenletből a másodikat kivonva:

$\omega =\omega _{2}-\omega _{1}=2\alpha _{2}-2\alpha _{1}=2(\alpha _{2}-\alpha _{1})=2\alpha$.

IV. eset

IV. eset

A kerületi szög érintő szárú, a középponti szög kisebb az egyenesszögnél.

Legyen az ábra szerint $AB$ szakasz felezőpontja $F$. Ekkor, lévén $ABO$ háromszög egyenlő szárú, $OF$ szakasz két egyenlő szögre osztja $\omega$-t (az ábrán $\omega _{1}=\omega _{2}={\frac {\omega }{2}}$).

Mivel $\alpha$ és $\omega _{1}$ merőleges szárú szögek, egyenlő nagyságúak, ezért $\omega =2\alpha$.

V. eset

A kerületi szög érintő szárú, a középponti szög éppen egyenesszög.

V. eset

Ebben az esetben a kérdéses ívhez tartozó húr éppen a kör átmérője. Mivel az érintési pontba húzott sugár (és így az ezt tartalmazó átmérő is) merőleges az érintőre, $\alpha$ derékszög, ezért nyilvánvalóan $\omega =2\alpha$.

VI. eset

A kerületi szög érintő szárú, a középponti szög nagyobb az egyenesszögnél.

VI. eset

Legyen a kisebb $AOB\angle$ jelölése $\omega '$, amely biztosan kisebb az egyenesszögnél, és nagysága $360$°$-\omega$. Az ehhez a szöghöz tartozó érintő szárú kerületi szög az ábrán $\alpha '$-vel jelölt szög, $\alpha$ kiegészítő szöge; nagysága $180$°$-\alpha$. A IV. esetben belátottak miatt

$\omega '=2\alpha '$, vagyis

$360$°$-\omega =360$°$-2\alpha$, azaz

$\omega =2\alpha$.

Ezzel a tételt beláttuk. Q.E.D.

Lásd még

• Kerületi szög
• Középponti szög