Köbös spline interpoláció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A köbös spline, az interpoláció egy fajtája, és az a tulajdonsága, hogy az egymást követő pontok harmadfokú polinomokkal vannak összekötve. A magasabb fok és az együtthatók olyan módon görbítik két pont között a polinomot, hogy annak végpontjai simán illeszkednek a szomszédos szakaszokon értelmezett polinomokhoz. Az interpolációs függvény tehát az alábbi alakot veszi fel:

S(x)=\left\{\begin{matrix} S_0(x),\ x\in[x_0,x_1]\\ S_1(x),\ x\in[x_1,x_2]\\ \cdots \\  S_{n-1}(x),\ x\in[x_{n-1},x_n]\end{matrix}\right.

A függvénynek pedig rendelkeznie kell az alábbi feltételekkel:

  • interpolációs sajátosság, S(xi)=f(xi)
  • a spline-ok illesztése, Si-1(xi) = Si(xi), i =1,...,n-1
  • első és másodrendű deriváltak folytonossága, S'i-1(xi) = S'i(xi) és S''i-1(xi) = S''i(xi), i =1,...,n -1.

n köbös polinom S-be való belefoglalásába szükség van n+1 feltétel meghatározására. De az S(xi)=f(xi) egyenlet n+1 feltételt ad és ezek a feltételek a pontokon belül n+1–2=n–1 pontot eredményeznek, tehát összesen 4n ‒ 2 feltételt.

Ha az elsőrendű deriváltjait az S–nek az x0 és xk pontokban elnevezzük u–nak és v–nek az úgynevezett kapocs spline interpoláció:

 S'(x_0) = u \,\!
 S'(x_k) = v \,\!

Esetleg a másodrendű deriváltakat egyenlővé téve 0–val:

S''(x_0) = S''(x_n) = 0 \,\!.

eredménynek a természetes köbös spline–t kapjuk.

Másik választásnak vehetjük a periódikus köbös spline–t ha

 S(x_0) = S(x_n) \,\!
 S'(x_0) = S'(x_n) \,\!
 S''(x_0) = S''(x_n) \,\!

Vagy a teljes köbös spline–t ha

 S(x_0) = S(x_n) \,\!
 S'(x_0) = S'(x_n) \,\!
 S''(x_0) = f'(x_0),\quad S''(x_n)=f'(x_n) \,\!

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]