Induktív dimenzió

Az induktív dimenzió a topológiában használatos dimenziófogalmak egyike, amely egy alakzat dimenzióját teljes indukcióval definiálja azt kihasználva, hogy egy test határa általában eggyel kisebb dimenziójú, mint maga a test. Attól függően, pontosan hogyan definiáljuk az eljárást, két némileg különböző fogalomhoz jutunk: a kis induktív dimenzióhoz (ind(X)) illetve a nagy induktív dimenzióhoz (Ind(X)).

Definíció

Kis induktív dimenzió

Az $X$ topologikus tér $ind(X)\,$ kis induktív dimenziója így definiálható:

• $ind(\emptyset):=-1$
• $ind(X) \le n$, ha minden $x\in X$ pontra és $x$ minden $U$ nyílt környezetéhez van $x$-nek $V$ nyílt környezete, hogy $\overline{V}\subset U$, és $ind(\partial V)\le n-1$.
• $ind(X) \,=\, n$, ha $ind(X) \le n$ és nem $ind(X) \le n-1$
• $ind(X) \,=\, \infty$, ha nincs $n\in \N$, amire az $ind(X) \le n$ egyenlőtlenség fennáll.

Nagy induktív dimenzió

Ha a kis induktív dimenzió definíciójában az $x\in X$ pontot egy tetszőleges zárt halmazzal helyettesítjük, akkor a nagy induktív dimenzió fogalmához jutunk. Pontosabban: az $X$ topolgikus tér $Ind(X)\,$ nagy induktív dimenziója így definiálható:

• $Ind(\emptyset):=-1$
• $Ind(X) \le n$, ha minden $A\subset X$ halmazhoz, és $A$ minden $U\subset$ környezetéhez van $A$-nak egy nyílt $V$ környezete, hogy $\overline{V}\subset U$ és $Ind(\partial V)\le n-1$.
• $Ind(X) \,=\, n$, ha $Ind(X) \le n$ és nem $Ind(X) \le n-1$
• $Ind(X) \,=\, \infty$, ha nincs $n\in \N$, amire az $Ind(X) \le n$ egyenlőtlenség teljesül.

Megfigyelések

• Az $ind(X) \le n$ állítás formálisan így írható fel: minden $x\in X$ pontnak van olyan környezetbázisa, ami $\le n-1$ kis induktív dimenziós határú zárt halmazokból áll. Mivel minden pontnak kell, hogy zárt környezetekből álló környezetbázisa van, ezért a fogalomnak csak reguláris terekben van értelme.
• Az $Ind(X) \le n$ állítás így formalizálható: minden $A,B\subset X$ diszjunkt zárt halmaznak van $U\supset A$ és $V\supset B$ nyílt környezete, hogy $U\cap V=\emptyset$, $\partial U \le n-1$ és $\partial V \le n-1$. Mivel ez az állítás felteszi, hogy teljesül az elválasztási axióma, ezért a fogalomnak csak normális terekben van értelme.
• Míg a kis induktív dimenzió a tér pontjaira is értelmes, addig a nagy induktív dimenzió csak az egész térre vonatkoztatható, a pontokra nem.

Tételek

Egyenlőtlenségek

Ha $X$ metrikus tér, akkor M. Katětov tétele szerint

$ind(X) \le Ind(X) \le dim(X)$.

P. S. Alexandrov egy tétele miatt a kompakt Hausdorff-tereken:

$dim(X) \le ind(X) \le Ind(X)$.

Szeparábilis (megszámlálható bázisú) metrikus terekre egyenlőség áll fenn:

$ind(X) \,=\, Ind(X) \,=\, dim(X)$.

K. Nagami konstruált egy $X$ normális teret, amire $ind(X)=0$, $dim(X)=1$ és $Ind(X)=2$.

Kompaktifikáció

Jelölje $\beta X$ azt a legbővebb kompakt Hausdorff-teret, ami $X$-et sűrű altérként tartalmazza (Stone-Čech-kompaktifikáció). Ekkor

• N. Wendenisow: Ha $X$ normális, akkor $Ind(X)=Ind(\beta X)$.
• J. R. Isbell: Ha $X$ normális, akkor $dim(X)=dim(\beta X)$.
• A kis indukcióra nem teljesülnek a fentiekkel analóg állítások.

Részhalmaztétel

$Ind$ és $dim$ teljesítik a teljes metrikus terek részhalmaztételét:

• Ha $X$ teljes normális tér, és $Y\subset X$, akkor $Ind(Y)\le Ind(X)$, és $dim(Y)\le dim(X)$.

Összegtétel

Ind eleget tesz a teljes normális terek összegtételének:

• C. H. Dowker: Ha $X$ teljes normális tér, és $(F_n)_{n\in \N}$ zárt halmazok sorozata, hogy $X=\bigcup_{n\in \N} F_n$, akkor $Ind(X)\le \sup_{n\in \N}Ind(F_n)$.
• Nem teljes normális terekre a tétel állítása nem teljesül sem a kis, sem a nagy induktív dimenzióra, még a kompakt Hausdorff-terekre sem.

Szorzattétel

Akkor mondjuk, hogy egy dimenziófogalom eleget tesz a szorzattételnek, ha két tér szorzatterének dimenziója becsülhető a tényezők dimenzióinak összegével:

$\R^n\times \R^m \cong \R^{n+m}$.

• Ha $X$ és $Y$ nem üres reguláris Hausdorf-tér, akkor $ind(X\times Y) \le ind(X) + ind(Y)$.
• Egy normális tér perfekt, ha bármely két disjunkten $A,B\subset X$ diszjunkt zárt halmazhoz van egy folytonos $f:X\rightarrow [0,1]$ függvény, hogy $A=f^{-1}(0)$ és $B=f^{-1}(1)$.

Ha $X$ perfekt normális tér, $Y$ metrizálható és egyik sem üres, akkor $Ind(X\times Y) \le Ind(X)+ Ind(Y)$.

• A $dim$ dimenzióra hasonlóak igazak: ha $X$ és $Y$ is metrizálható, vagy ha $X$ parakompakt, és $Y$ kompakt.

Forrás

• Keiô Nagami: Dimension Theory, Academic Press (1970)