Induktív dimenzió

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az induktív dimenzió a topológiában használatos dimenziófogalmak egyike, amely egy alakzat dimenzióját teljes indukcióval definiálja azt kihasználva, hogy egy test határa általában eggyel kisebb dimenziójú, mint maga a test. Attól függően, pontosan hogyan definiáljuk az eljárást, két némileg különböző fogalomhoz jutunk: a kis induktív dimenzióhoz (ind(X)) illetve a nagy induktív dimenzióhoz (Ind(X)).

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kis induktív dimenzió[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az X topologikus tér ind(X)\, kis induktív dimenziója így definiálható:

  • ind(\emptyset):=-1
  • ind(X) \le n, ha minden x\in X pontra és x minden U nyílt környezetéhez van x-nek V nyílt környezete, hogy \overline{V}\subset U, és ind(\partial V)\le n-1.
  • ind(X) \,=\, n, ha ind(X) \le n és nem ind(X) \le n-1
  • ind(X) \,=\, \infty, ha nincs n\in \N, amire az ind(X) \le n egyenlőtlenség fennáll.

Nagy induktív dimenzió[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a kis induktív dimenzió definíciójában az x\in X pontot egy tetszőleges zárt halmazzal helyettesítjük, akkor a nagy induktív dimenzió fogalmához jutunk. Pontosabban: az X topolgikus tér Ind(X)\, nagy induktív dimenziója így definiálható:

  • Ind(\emptyset):=-1
  • Ind(X) \le n, ha minden A\subset X halmazhoz, és A minden U\subset környezetéhez van A-nak egy nyílt V környezete, hogy \overline{V}\subset U és Ind(\partial V)\le n-1.
  • Ind(X) \,=\, n, ha Ind(X) \le n és nem Ind(X) \le n-1
  • Ind(X) \,=\, \infty, ha nincs n\in \N, amire az Ind(X) \le n egyenlőtlenség teljesül.

Megfigyelések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Az ind(X) \le n állítás formálisan így írható fel: minden x\in X pontnak van olyan környezetbázisa, ami \le n-1 kis induktív dimenziós határú zárt halmazokból áll. Mivel minden pontnak kell, hogy zárt környezetekből álló környezetbázisa van, ezért a fogalomnak csak reguláris terekben van értelme.
  • Az Ind(X) \le n állítás így formalizálható: minden A,B\subset X diszjunkt zárt halmaznak van U\supset A és V\supset B nyílt környezete, hogy U\cap V=\emptyset, \partial U \le n-1 és \partial V \le n-1. Mivel ez az állítás felteszi, hogy teljesül az elválasztási axióma, ezért a fogalomnak csak normális terekben van értelme.
  • Míg a kis induktív dimenzió a tér pontjaira is értelmes, addig a nagy induktív dimenzió csak az egész térre vonatkoztatható, a pontokra nem.

Tételek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egyenlőtlenségek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha X metrikus tér, akkor M. Katětov tétele szerint

 ind(X) \le Ind(X) \le dim(X).

P. S. Alexandrov egy tétele miatt a kompakt Hausdorff-tereken:

 dim(X) \le ind(X) \le Ind(X).

Szeparábilis (megszámlálható bázisú) metrikus terekre egyenlőség áll fenn:

 ind(X) \,=\, Ind(X) \,=\, dim(X).

K. Nagami konstruált egy X normális teret, amire ind(X)=0, dim(X)=1 és Ind(X)=2.

Kompaktifikáció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jelölje \beta X azt a legbővebb kompakt Hausdorff-teret, ami X-et sűrű altérként tartalmazza (Stone-Čech-kompaktifikáció). Ekkor

  • N. Wendenisow: Ha X normális, akkor Ind(X)=Ind(\beta X).
  • J. R. Isbell: Ha X normális, akkor dim(X)=dim(\beta X).
  • A kis indukcióra nem teljesülnek a fentiekkel analóg állítások.

Részhalmaztétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ind és dim teljesítik a teljes metrikus terek részhalmaztételét:

  • Ha X teljes normális tér, és Y\subset X, akkor Ind(Y)\le Ind(X), és dim(Y)\le dim(X).

Összegtétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ind eleget tesz a teljes normális terek összegtételének:

  • C. H. Dowker: Ha X teljes normális tér, és (F_n)_{n\in \N} zárt halmazok sorozata, hogy X=\bigcup_{n\in \N} F_n, akkor Ind(X)\le \sup_{n\in \N}Ind(F_n).
  • Nem teljes normális terekre a tétel állítása nem teljesül sem a kis, sem a nagy induktív dimenzióra, még a kompakt Hausdorff-terekre sem.

Szorzattétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Akkor mondjuk, hogy egy dimenziófogalom eleget tesz a szorzattételnek, ha két tér szorzatterének dimenziója becsülhető a tényezők dimenzióinak összegével:

\R^n\times \R^m \cong \R^{n+m}.

  • Ha X és Y nem üres reguláris Hausdorf-tér, akkor ind(X\times Y) \le ind(X) + ind(Y).
  • Egy normális tér perfekt, ha bármely két disjunkten A,B\subset X diszjunkt zárt halmazhoz van egy folytonos f:X\rightarrow [0,1] függvény, hogy A=f^{-1}(0) és B=f^{-1}(1).

Ha X perfekt normális tér, Y metrizálható és egyik sem üres, akkor Ind(X\times Y) \le Ind(X)+ Ind(Y).

  • A dim dimenzióra hasonlóak igazak: ha X és Y is metrizálható, vagy ha X parakompakt, és Y kompakt.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Keiô Nagami: Dimension Theory, Academic Press (1970)