Exponenciális függvények értékeinek kiszámítása

A lap ellenőrzött változata (ellenőrizve: 2019. július 4.) ezen a változaton alapul.

Az exponenciális, $e^{x}$ , függvény Maclaurin-sora

$e^{x}$ = 1 + x + ${\frac {x^{2}}{2!}}$ + ${\frac {x^{3}}{3!}}$ + ... + ${\frac {x^{n}}{n!}}$ + ...

A sor konvergens a teljes valós számhalmazon. A maradéktag

$R_{n}(x)$ = ${\frac {e^{\Theta x}}{(n+1)!}}$ $x^{n+1}$ (0 < θ < 1),

azaz meredeken nő az x abszolút értékével. Ezért lehetőleg kis értékek szerint kell a sorfejtést végezni. Tetszőleges x érték esetén fennáll, hogy

x = [x] + q,

ahol [x] az x egész része és 0 ≤ q < 1. Például: 4.7 = 4 + 0.7, -2.45 = -3 + 0.55. Tehát

$e^{x}=e^{[x]}\cdot e^{q}$ .

Az első tényezőt sorozatos szorzással kapjuk meg:

$e^{x}$ = ee . . . e = [x]x , ha $x\geq 0$ ,

vagy

$e^{x}={\frac {1}{e}}{\frac {1}{e}}...{\frac {1}{e}}$ , ha [x] < 0 ,

ahol e = 2.718281828459045 ± 5 · $10^{-16}$ A sorfejtést csak a második tényezőre kell kiszámolnunk:

$e^{q}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g^{n}}{n!}}$

Mivel q < 1, a fenti sorozat gyorsan konvergál és a maradéktag

$0\leq R_{n}(g)<{\frac {3}{(n+1)!}}q^{n+1}$

Az tagok rekurrenciás kapcsolata:

$T_{0}=u_{0}=1$ , $u_{n+1}=u_{n}\cdot {\frac {x}{n+1}}$ .

Az exponenciális függvényt számító algoritmus:

function TaylorExp( in: x, ε out: T )
u ← 1
n ← 0
T ← 1
repeat
u ← u*(x/n+1)
T ← T + u
n ← n + 1
until |u| < ε
return T
end function

Példa

Alkalmazásként határozzuk meg ${\sqrt {e}}$ -t $10^{-7}$ hibán belül. Ez esetben x = 1/2 tehát a rekurrenciás képlet:

$u_{0}=0$ , $u_{n+1}=u_{n}{\frac {1}{2(n+1)}}$ , k=(1, 2, . . .)

A pontos érték 1.6487212707...

Lázár Zsolt, Lázár József, Járai-Szabó Ferenc: Numerikus módszerek, Kolozsvári Egyetemi Kiadó, 2008