Exponenciális függvények értékeinek kiszámítása
Ezt a szócikket némileg át kellene dolgozni a wiki jelölőnyelv szabályainak figyelembevételével, hogy megfeleljen a Wikipédia alapvető stilisztikai és formai követelményeinek. |
Az exponenciális, , függvény Maclaurin-sora
= 1 + x + + + ... + + ...
A sor konvergens a teljes valós számhalmazon. A maradéktag
= (0 < θ < 1),
azaz meredeken nő az x abszolút értékével. Ezért lehetőleg kis értékek szerint kell a sorfejtést végezni. Tetszőleges x érték esetén fennáll, hogy
x = [x] + q,
ahol [x] az x egész része és 0 ≤ q < 1. Például: 4.7 = 4 + 0.7, -2.45 = -3 + 0.55. Tehát
.
Az első tényezőt sorozatos szorzással kapjuk meg:
= ee . . . e = [x]x , ha ,
vagy
, ha [x] < 0 ,
ahol e = 2.718281828459045 ± 5 · A sorfejtést csak a második tényezőre kell kiszámolnunk:
Mivel q < 1, a fenti sorozat gyorsan konvergál és a maradéktag
Az tagok rekurrenciás kapcsolata:
, .
Az exponenciális függvényt számító algoritmus:
function TaylorExp( in: x, ε out: T )
u ← 1
n ← 0
T ← 1
repeat
u ← u*(x/n+1)
T ← T + u
n ← n + 1
until |u| < ε
return T
end function
Példa
Alkalmazásként határozzuk meg -t hibán belül. Ez esetben x = 1/2 tehát a rekurrenciás képlet:
, , k=(1, 2, . . .)
un | Tn | |
---|---|---|
0 | 1 | 1 |
1 | 0.5 | 1.5 |
2 | 0.125 | 1.625 |
3 | 0.0208333333333 | 1.64583333333 |
4 | 0.00260416666667 | 1.6484375 |
5 | 0.000260416666667 | 1.64849791667 |
6 | 2.17013888889e-05 | 1.64871961806 |
7 | 1.55009920635e-06 | 1.64872116815 |
8 | 9.68812003968e-08 | 1.65872126504 |
A pontos érték 1.6487212707...
Források
- Lázár Zsolt, Lázár József, Járai-Szabó Ferenc: Numerikus módszerek, Kolozsvári Egyetemi Kiadó, 2008