Euler-Maclaurin képlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az Euler-Maclaurin képlet vagy formula kapcsolatot teremt az integrál és az összeg között. A formulát egymástól függetlenül fedezte fel Leonhard Euler és Colin Maclaurin 1735 körül. A formula alkalmazható végtelen vagy véges összegek becsléséhez, illetve integrálok értékének közelítő meghatározásához.

A formula[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A képlet a következő alakot ölti:

\sum\limits_{k = p}^{m - 1} {f\left( k \right)}  = \int_p^m {f\left( t \right)} dt + \sum\limits_{v = 1}^{n - 1} {\frac{{B_v }}{{v!}}} \left( {f^{\left( {v - 1} \right)} \left( m \right) - f^{\left( {v - 1} \right)} \left( p \right)} \right) + R_n

Itt B_v a Bernoulli-féle számokat, R_n pedig a maradéktagot jelöli. A Bernoulli polinomok felhasználásával a maradéktag így írható:

R_n  =  - \frac{1}{{n!}}\int_0^1 {\left( {B_n \left( t \right) - B_n } \right)} \sum\limits_{k = p}^{m - 1} {f^{\left( n \right)} } \left( {k + 1 - t} \right)dt

Ha n páros, akkor szokás a képletet a következő alakban is megadni:

\sum\limits_{k = p}^{m - 1} f \left( k \right) = C + \int_p^m {f\left( t \right)} dt + \sum\limits_{k = 1}^{2s - 2} {\frac{{B_k }}{{k!}}} f^{\left( {k - 1} \right)} \left( m \right) + \theta \frac{{B_{2s} }}{{\left( {2s} \right)!}}f^{\left( {2s - 1} \right)} \left( m \right),\quad 0 < \theta  < 1

Alkalmazás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A képlet alkalmazásával f(x) = ln(x) helyettesítéssel például eljuthatunk a Stirling-formuláig:

\ln \left( {x!} \right) = \left( {x + \frac{1}{2}} \right)\ln x - x + \frac{1}{2}\ln \left( {2\pi } \right) + \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{{B_{2k} }}{{2k\left( {2k - 1} \right)x^{2k - 1} }}}

A formula segítségével Euler a következő aszimptotikus sort találta a harmonikus sor részletösszegére:

\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}}  = \ln \left( n \right) + C + \frac{1}{{2n}} - \sum\limits_{i = 1}^\infty  {\frac{{B_{2i} }}{{2i}}} \frac{1}{{n^{2i} }}

A C számot Euler-féle konstansnak nevezzük, értéke körülbelül 0,5772156649.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Springer Online Reference Works – http://eom.springer.de/