Diffúziós egyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A diffúziós egyenlet az anyagban végbemenő diffúziós folyamat dinamikai sűrűségét leíró parciális differenciálegyenlet. A diffúziós egyenlet a diffúziószerű viselkedés leírására – például az allélek diffúziója a populációgenetikában[1] – is használható.

Képlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\frac{\partial\phi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \nabla \cdot \big[ D(\phi,\mathbf{r}) \ \nabla\phi(\mathbf{r},t) \big],

ahol ϕ(r, t), az r helyen lévő anyag sűrűsége, t , az idő, és D(ϕ, r) a együttes diffúziós együttható az r helyen lévő ϕ sűrűségnél, és ∇ reprezentálja a vektor differenciáloperátort. Ha a diffúziós együttható függ a sűrűségtől, akkor az egyenlet nemlineáris, máskülönben lineáris. Még általánosabban, ha D szimmetrikus pozitív definit mátrix, akkor az egyenlet anizotróp (lásd izotrópia) diffúziót ír le, melynek képlete (háromdimenziós diffúzió):

\frac{\partial\phi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i}\left[D_{ij}(\phi,\mathbf{r})\frac{\partial \phi(\mathbf{r},t)}{\partial x_j}\right]

Ha D konstans, akkor az egyenlet a következő lineáris differenciálegyenletté egyszerűsödik: \frac{\partial\phi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = D\nabla^2\phi(\mathbf{r},t), melyet hőegyenletnek is hívnak.

Történet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A diffúziós egyenlet eredete visszanyúlik az Fick-féle részecskékre vonatkozó diffúziós egyenletre, melyet Adolf Fick állított fel 1855-ben.[2]

Diszkrétizálás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A diffúziós egyenlet mind térben, mind időben, folytonos. Lehetséges diszkrétizálni térben és időben vagy külön-külön, az alkalmazástól függően. A diszkrétizálásra akkor van főleg szükség, ha digitális számítógépen történik a további felhasználás. A diszkrétizáláskor időszeletekre bontjuk a folytonos függvényt, mely nem befolyásolja a jelenséget. Ha csak a térben történik a diszkrétizálás, akkor a diszkrét Gauss-kernel alkalmazható. Ha térben és időben egyszerre diszkrétizálunk, akkor a véletlenszerű mozgás (bolyongás) módszere használható.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. http://dl.dropbox.com/u/46147408/tutorials/diffusion.pdf
  2. A. Fick, Ueber Diffusion, Pogg. Ann. Phys. Chem. 170 (4. Reihe 94), 59-86 (1855).

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Crank, J: The Mathematics of Diffusion. (hely nélkül): Oxford: Clarendon Press. 1956. 
  • The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers. 2011. 

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

[1]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]