Ciolkovszkij-egyenlet

Ciolkovszkij rakéta-egyenletének elemei

A Ciolkovszkij-egyenlet az idealizált rakéta mozgását írja le. Nevét Konsztantyin Eduardovics Ciolkovszkij orosz kutatóról kapta, aki munkássága során sokat foglalkozott az űrutazással, és ő alapozta meg tudományosan a többlépcsős rakéták elméletét is.

Ciolkovszkij rakéta-egyenlete idealizált gravitáció és légellenállás nélküli (vákuum) esetre:

$v(t)=v_{g}\cdot \ln \left({\frac {m_{0}}{m(t)}}\right)$

Ahol:

$v\,$ a rakéta sebessége a t időpillanatban,

$v_{g}\,$ a rakétát elhagyó gázsugár sebessége a rakétához képest (jellemző érték kémiai hajtóanyag esetén: 4,5 km/s),

$m_{0}\,$ a rakéta induló tömege és

$m\,$ a rakéta tömege az indulástól számított t idő múlva.

Az egyenlet levezetése

Jelöljük a rakétából kiáramló gázsugár a rakétához képest állandó sebességét v_g-vel, az inerciarendszerhez képesti pillanatnyi sebességét pedig v_gi-vel, az indulástól számított t idő elteltével a rakéta tömegét m-el, t + dt időpillanatban a rakéta tömege pedig legyen m - dm. A rakéta a t-ik időpillanatban mért P₁ impulzusára az alábbi összefüggés írható:

$P_{1}=m\cdot v\,$

A t + dt időpontban a P₂ impulzusa pedig így írható:

$P_{2}=(m-dm)\cdot (v+dv)+dm\cdot v_{gi}\,$

A két impulzus különbsége, ha a másodrendűen kicsi dm.dv_gi tagot elhanyagoljuk:

$dP=P_{2}-P_{1}=m\cdot dv+dm\cdot (v_{gi}-v)\,$,

azonban, mivel a gázsugár relatív sebessége a rakétához képest

$v_{g}=v_{gi}-v\,$,

és mivel a rakétára semmiféle külső erő nem hat, a két impulzus különbsége nulla, ezért írhatjuk:

$m\cdot dv=-dm\cdot v_{g}\,$,

A rakéta pillanatnyi m tömegével elosztva mindkét oldalt:

$dv=-{\frac {dm}{m}}\cdot v_{g}\,$,

a rakétamozgás differenciálegyenletéhez jutunk, aminek megoldása egyszerűen integrálással történik:

$\int _{0}^{v}\mathrm {d} v+\int _{m_{0}}^{m}v_{g}\cdot {\frac {\mathrm {d} m}{m}}=0$

és innen a rakéta sebessége:

$v=v_{g}\cdot \ln \left({\frac {m_{0}}{m}}\right)$

Források

• К. Э. Циолковский, Исследование мировых пространств реактивными приборами, 1903.
• Ciolkovszkij fenti műve PDF formátumban