Cauchy-féle középértéktétel

A Cauchy-féle középértéktétel a differenciálszámítás egyik alaptétele.

Állítás

Ha az f és g függvények [a, b]-ben folytonosak, (a,b)-ben differenciálhatóak és g'(x) ≠ 0, ha x $\in$ (a, b), akkor van olyan ξ $\in$ (a, b), amire fennáll a következő egyenlőség:

${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}$

Bizonyítás

Tekintsük az x $\in$ [a, b]; F(x)=f(x)+λg(x) függvényt, ahol λ egy konstans. Határozzuk meg λ-t úgy, hogy F(x) a és b helyeken ugyanazt az értéket vegye fel. Vagyis legyen F(a)=F(b), tehát f(a)+λg(a)=f(b)+λg(b). Innen:

$\lambda =-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$

g(b) ≠ g(a), mert akkor a Rolle-féle középértéktétel szerint (a, b)-on g'(x)-nek lenne zérushelye.
F(x)-re alkalmazzuk a Rolle-féle középértéktételt: létezik olyan ξ $\in$ (a, b), hogy F'(ξ)=0.

$F^{\prime }(\xi )=f'(\xi )+\lambda g'(\xi )$

λ-t behelyettesítve és felhasználva hogy, F'(ξ)=0:

$f'(\xi )-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(\xi )=0$

Az egyenletet rendezve:

${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}$