Töröttvonalfüggvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában töröttvonalfüggvénynek nevezünk f[a,b]→ függvényeket, ha van olyan felosztás, hogy f mindegyik [xi-1,xi] intervallumban lineáris, azaz m·x+c alakú.

Töröttvonalfüggvény közelítése[szerkesztés]

Bármely töröttvonalfüggvény egyenletesen megközelíthető polinomokkal. Legyen ugyanis az f töröttvonalfüggvény meredeksége az [xi-1,xi] intervallumban mi, és tekintsük a

függvényeket (i=1,...,n), ahol m0=0. Ekkor a

függvény olyan töröttvonalfüggvény, amelynek a meredeksége az [xi-1,xi] intervallumban mi minden i=1,...n-re. Ebből egyszerűen adódik, hogy

.

Most belátjuk, hogy mindegyik Φi függvény egyenletesen megközelíthető polinomokkal az [a,b] intervallumban. Legyen i rögzített, és vezessük be az xi-1=c és m=(mi-mi-1/2) jelölést. Ekkor

minden x-re. Válasszunk egy olyan r számot, amelyre c-r<a<b<c+r. Az előző példa szerint minden ε>0-hoz létezik olyan p polinom, hogy |p(x)-|x||<ε minden x∈[-1,1]-re. Ekkor a

polinomra teljesül, hogy

minden x∈[c-r,c+r]-re, tehát minden x∈[a,b]-re is. Így a

polinom rendelkezik a tulajdonsággal, hogy

minden x∈[a,b]-re, ahol K konstans nem függ ε-tól.

Forrás[szerkesztés]

Laczkovich Miklós-T. Sós Vera: Analízis II. ISBN 978-963-19-6084-6