Többváltozós eloszlásfüggvény

Egy többváltozós eloszlásfüggvény a valószínűségszámításban egy valós értékű függvény, melyet többdimenziós valószínűségeloszlások, azaz valószínűségi vektorváltozók eloszlásának vizsgálatára használnak. Az eloszlásfüggvény magasabb dimenziós megfelelője; az egyváltozós esethez hasonlóan egyértelműen jellemzi a valószínűségi vektorváltozókat a korrespondenciatétel szerint. Ezáltal a magasabb dimenziós valószínűségeloszlások is vizsgálhatók mértékelméleti eszközökkel.

Használják még a következő elnevezéseket: n-dimenziós eloszlásfüggvény, eloszlás $\mathbb {R} ^{n}$-en, vagy a mértékelméleti értelemben vett többváltozós eloszlásfüggvénytől való megkülönböztetésre szűkebb értelemben vett többváltozós eloszlásfüggvény.

Jelölések

Az $\mathbb {R} ^{n}$-beli $x,y$ vektorok esetén az összehasonlítást koordinátánként végezzük, azaz

$x\leq y$ akkor és csak akkor, ha $x_{i}\leq y_{i}$ minden $i\in \{1,2,\dots ,n\}$ indexre.

A továbbiakban $x\in \mathbb {R} ^{n}$ esetén

$(-\infty ,x]:=\{y\in \mathbb {R} ^{n}\,|\,y\leq x\}$

illetve koordinátánként

$(-\infty ,x]=(-\infty ,x_{1}]\times (-\infty ,x_{2}]\times \dots \times (-\infty ,x_{n}]$

Definíció

A fenti jelölésekkel a definíció hasonlóvá válik az egydimenziós esethez. Ha $P$ valószínűségeloszlás egy $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$ valószínűségi mezőn, azaz többdimenziós valószínűségeloszlás, akkor $P$ eloszlásfüggvénye egy $F_{P}\colon \mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$ függvény,

$F_{P}(x):=P((-\infty ,x])$.

Ha $X$ $n$ dimenziós valószínűségi változó, vagyis $F_{X}\colon \mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$, és definíciója

$F_{X}(x):=P(X<x)$.

Ekkor $F_{X}$ $X$ (többdimenziós) eloszlásfüggvénye.

A definíció koordinátánként:

$F_{X}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}):=P(X_{1}<x_{1},X_{2}<x_{2},\dots ,X_{n}<x_{n})$,

ahol $X=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})^{T}$. Így a valószínűségi vektorváltozó eloszlásfüggvénye a koordinták közös eloszlásfüggvénye.

Tulajdonságok

Minden $F=F_{P}$ esetén teljesül:

• Minden változóban balról folytonos.
• Téglamonoton, azaz ha $a\leq b$, akkor $\Delta _{a}^{b}F\geq 0$
• Határértékek:

$\lim _{\min _{i}x_{i}\to \infty }F(x)=1$ és

$\lim _{\min _{i}x_{i}\to -\infty }F(x)=0$

A korrespondenciatétel szerint ez megfordítható; amelyik függvény ezekkel a tulajdonságokkal bír, az eloszlásfüggvény.

Források

• David Meintrup, Stefan Schäffler. Stochastik. Theorie und Anwendungen. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag (2005) 
• Norbert Kusolitsch. Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung, 2., átdolgozott és bővített, Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2014) 
• Klaus D. Schmidt. Maß und Wahrscheinlichkeit, 2., átnézett, Heidelberg Dordrecht London New York: Springer-Verlag (2011) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Multivariate Verteilungsfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.