Többdimenziós valószínűségeloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A valószínűségszámításban a többdimenziós eloszlás egy valószínűségi vektorváltozó eloszlása, azaz egy -beli értékeket felvevő valószínűségi változó eloszlása. Egy valószínűségi vektorváltozó eloszlása is mérhető halmazokhoz rendeli a valószínűségeket, de ezek -beliek. Minden mérhető halmaznak van valószínűsége, ami megadja, hogy értéke mekkora eséllyel esik ebbe a részhalmazba. Az egyes koordinátáinak eloszlását peremeloszlásnak nevezzük. A többdimenziós eloszlásra példa a multinormális eloszlás, más néven a többdimenziós normális eloszlás.

Bevezető példa[szerkesztés]

Tekintjük a következő két kísérletet:

1. Szabályos dobókockával dobunk kétszer, vagy ezzel ekvivalensen egy urnakísérlet, ahol is a számozott golyót visszatesszük. A lehetséges kimenetelek száma 36, és mivel egyformán valószínűek, mindegyik esélye 1/36.

2. Urnakísérlet számozott golyókkal, de a kihúzott golyót nem tesszük vissza. Emiatt az (1,1),(2,2),…,(6,6) kimenetelek nem fordulnak elő, így a többi 30 kimenetel valószínűsége egyenként 1/30.

Jelölje rendre a két valószínűségi vektorváltozót és . Ezek peremeloszlásai ugyanazok, mind a hat szám ugyanazzal az 1/6 valószínűséggel fordul elő.

Az első kísérletben a két húzás egymástól független, mivel a kihúzott golyót visszatesszük, de a másodikban már nem, mivel másodjára nem jöhet ki ugyanaz a szám, pedig függetlenség esetén 1/36 lenne a valószínűségük, ami a peremeloszlások valószínűségének szorzata. De a (1,1),(2,2),…,(6,6) párok valószínűsége nulla.

Emiatt habár a peremeloszlások ugyanazok, a és valószínűségi változók különböző eloszlásúak.

Két dimenzióban[szerkesztés]

10000 szúrópróba egy Clayton-kopulával modellezett eloszlásból, ahol . Az eloszlás peremeloszlásai normális eloszlásúak

Egy kétdimenziós valószínűségi vektorváltozó eloszlásfüggvénye:

Ha a valószínűségi vektorváltozó kétdimenziós sűrűségfüggvénye , akkor az eloszlásfüggvény:

.

Ha az eloszlás diszkrét, akkor a közös eloszlás feltételes valószínűségekkel:

Folytonos esetben

Itt és feltételes sűrűségfüggvények, azaz a megfelelő feltételes valószínűségi változók sűrűségfüggvényei. A feltételes valószínűségi változók: feltéve , és feltéve . Az függvények rendre és peremeloszlásai.

Az ábrán a koordináták közötti összefüggést kopulák jelzik. A bemutatott eloszlás példa arra, hogy ha a peremeloszlások normálisak, akkor az eloszlás nem biztos, hogy normális.

Általános eset[szerkesztés]

Ha az n-dimenziós valószínűségi vektorváltozónak van sűrűségfüggvénye, akkor az eloszlásfüggvény a kétdimenziós esethez hasonlóan

.

A dimenziók növekedéséveol több lehetőség adódik peremeloszlásokra, minden alacsonyabb dimenzióhoz létezik peremeloszlás. Például három dimenzióban három egyváltozós és három kétváltozós peremeloszlás van.

Független valószínűségi változók közös eloszlása[szerkesztés]

Ha a diszkrét X és Y valószínűségi változókra minden x és y esetén teljesül, hogy , akkor függetlenek.

Hasonlóan, ha folytonos X és Y valószínűségi változókra minden x és y esetén teljesül, hogy , akkor függetlenek.

Források[szerkesztés]

  • K. V. Mardia, J. T. Kent, J. M. Bibby: Multivariate Analysis. Acad. Press, New York 1979, ISBN 0-12-471250-9. (engl.)
  • Ludwig Fahrmeir, Alfred Hamerle (Hrsg.): Multivariate statistische Verfahren. de Gruyter, New York 1996, ISBN 3-11-008509-7.
  • Joachim Hartung, Bärbel Elpelt: Multivariate Statistik. Oldenbourg, München/ Wien 1999, ISBN 3-486-25287-9.

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Multivariate Verteilung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.