Szerkesztő:Whoami/Időfejlődés a kvantummechanikában

A fizikában, különösen a kvantummáchanikában a fizikai rendszereket kvantumállapotok írják le. Egy ilyen kvantumállapot legáltalánosabb esetben függ az időtől. A kvantummechanikában időfejlődés alatt olyan egyenleteket értenek, melyek segítségével egy adott kezdőpillanatban ismerve a kvantumállapotot, a későbbi időpillanatokban vizsgált állapot meghatározható.

Schrödinger-egyenlet

Az egyenlet matematikai szerkezete

Az időfüggő Schrödinger-egyenlet a kvantummechanika alapposztulátumai közé tartozik. Eszerint ha $|\psi \rangle \in {\mathcal {H}}$ a ${\mathcal {H}}$ Hilbert-tér által leírt kvantumrendszer egy állapota, akkor annak időfejlődését az

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle ={\hat {H}}|\psi \rangle$

egyenlet, az ún. időfüggő Schrödinger-egyenlet kormányozza. A ${\hat {H}}$ operátor az ún. Hamilton-operátor, mely az energia, mint megfigyelhető mennyiség operátora: tetszőleges $|\psi \rangle \in {\mathcal {H}}$ állapoton végzett mérések során adódó energiaértékek várható értéke

$\langle {\hat {H}}\rangle =\langle \psi |{\hat {H}}|\psi \rangle .$

Általános eseben mind az állapot, mind a ${\bar {H}}$ Hamilton-operátor függhet az időtől, így az egyenlet jobb oldalán szereplő mennyiség nem egy adott állapot, hanem egy $\gamma :I\rightarrow {\mathcal {H}}$ folytonosan differenciálható görbe a Hilbert-térben. Az egyenlet jobb oldalán pedig szintén egy görbe, a

$H_{t}:I\rightarrow \mathrm {Lin} _{\mathbb {C} }({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})$

operátorértékű görbe található.

Ha $\{|\phi \rangle _{i}\}_{i\in I}$ egy teljes ortonormált rendszer rendszer ${\mathcal {H}}$-ban mely az időtől nem függ, akkor az alábbi egyenlőségek érvényesek:

$|\psi \rangle (t)=\sum _{i\in I}c_{i}(t)|\phi \rangle _{i}$ ${\bar {H}}(t)|\psi \rangle _{k}=\sum _{i\in I}H_{ki}(t)|\phi \rangle _{i\in I}$

Schrödinger-kép

Schrödingeri-képben a kvantum állapotot leíró $|\psi (t)\rangle$ időfüggését írjuk le. Az ${\widehat {U}}(t,t_{0})$ időfejlesztő operátorral tudjuk a $|\psi (t_{0})\rangle$ időpillanatban lévő kvantumállapotot elvinni $|\psi (t)\rangle$ állapotba, méghozzá a következő összefüggéssel:

$|\psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$.

Az időfüggő Schrödinger egyenletbe behelyettesítve az előbbi kifejezést, majd megoldva az U operátorra azt fogja adni, hogy:

${\hat {U}}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }$.

Az U időfejlesztő operátort összeszorozva az adjungáltjával megkapjuk az identitást, azaz U unitér operátor: ${\widehat {U}}^{\dagger }(t,t_{0}){\widehat {U}}(t,t_{0})=I$. Az U időfejlesztő operátorral való műveletnél látható, hogy szerepel a Hamilton operátor mint az exponenciális kitevője, az ezzel való műveletet Taylor-sorként lehet felírni:

${\hat {U}}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }=1-{\frac {i{\hat {Ht}}}{\hbar }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {{\hat {H}}t}{\hbar }}\right)^{2}+...$.

Heisenberg-kép

Heisenberg képet alkalmazva, az operátoroknak az időfejlődésével jellemezzük a kvantumrendszer időfüggését. A $|\psi (t)\rangle _{H}$ Heisenberg képbeli állapot megegyezik minden időpontban egy rögzített állapottal, amelyet szokásosan a Schrödinger képbeli nulla időpontbeli állapot szokott lenni: $|\psi (t)\rangle _{H}=|\psi (t_{0})\rangle _{S}$. Az időfejlődést egy operátor várhatóértékére a következőképpen írhatjuk fel:

${\frac {d\langle A(t)\rangle }{dt}}={\frac {d\langle \psi (t)|{\hat {A}}(t)|\psi (t)\rangle }{dt}}=\langle {\dot {\psi }}(t)|{\hat {A}}|\psi (t)\rangle +\langle \psi (t)|{\dot {\hat {A}}}|\psi (t)\rangle +\langle \psi (t)|{\hat {A}}|{\dot {\psi }}(t)\rangle$.

Majd az időfüggő Schrödinger egyenletet kihasználva, az állapot időderiváltja heylett írhatjuk a Hamilton operátort. Végezetül, mivel az egyik helyen a bra vektornál jelenik meg a Hamilton operátor, a másik helyen pedig a ket vektorrészben, ezért lesz egy előjel különbség köztük. Az így kapott A operátor és H Hamilton operátor szorzatokat egy kommutátor jel alá vihetjük, azaz a következő adódik:

${\frac {d{\hat {A}}(t)}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {A}}(t)]+{\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial {t}}}$.

A legtöbb esetben az utolsó tag elszokott tünni, mert az operátoroknak nincs explicit időfüggése csak különleges problémáknál.