Szerkesztő:Sajo~huwiki/Negyedfokú egyenlet

Keressük azokat az "x" számokat melyekre teljesül az:

$a\cdot x^{4}+b\cdot x^{3}+c\cdot x^{2}+d\cdot x+e=0\,$

1.) Legyen $x=y_{1}+y_{2}+y_{3}\,$ majd felírjuk a következő azonosságot:

$x^{4}-2(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2})\cdot x^{2}-8(y_{1}y_{2}y_{3})\cdot x+(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2})^{2}-4(y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2})=0$

Ez egy $x^{4}+A\cdot x^{2}+B\cdot x+C=0$ alakú és $x^{2}\,$ -ben másodfokú egyenlet melynek $y_{1,2,3}\,$ együtthatóiból felírhatunk egy harmadfokú egyenletet amit aztután megoldunk a harmadfokú egyenlet megoldóképletével.

A Viète-formulák segítségével felírhatjuk:

$\left.{\begin{aligned}&y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}=-{\frac {A}{2}}\\&y_{1}^{2}\cdot y_{2}^{2}+y_{1}^{2}\cdot y_{3}^{2}+y_{2}^{2}\cdot y_{3}^{2}={\frac {1}{4}}\left(-{\frac {A}{2}}\right)^{2}-{\frac {C}{4}}\\&y_{1}^{2}\cdot y_{2}^{2}\cdot y_{3}^{2}=\left(-{\frac {B}{8}}\right)^{2}\\\end{aligned}}\right\}{\text{ }}\Rightarrow y^{3}+{\frac {A}{2}}\cdot y^{2}+\left(\left({\frac {A}{4}}\right)^{2}-{\frac {C}{4}}\right)\cdot y-\left({\frac {B}{8}}\right)^{2}=0$

Tehát az $x^{4}+A\cdot x^{2}+B\cdot x+C=0\,$ egyenlet egyik megoldása $x_{1}={\sqrt {y_{1}}}+{\sqrt {y_{2}}}+{\sqrt {y_{3}}}\,$ ahol $y_{1,2,3}\,$ az

$y^{3}+{\frac {A}{2}}\cdot y^{2}+\left(\left({\frac {A}{4}}\right)^{2}-{\frac {C}{4}}\right)\cdot y-\left({\frac {B}{8}}\right)^{2}$ harmadfokú egyenlet gyökei.

2.) Az $a\cdot x^{4}+b\cdot x^{3}+c\cdot x^{2}+d\cdot x+e\cdot =0$ általános neyedfokú egyenletet úgy hozzuk az 1.-es pontban lévő $x^{4}+A\cdot x^{2}+B\cdot x+C=0$ formára, hogy az "x" változót helyettesítjük " $X-{\frac {b}{4a}}$ "-val, ezáltal kapjuk az:

$X^{4}+\overbrace {\left({\frac {c}{a}}-{\frac {3b^{2}}{8a^{2}}}\right)} ^{A}\cdot X^{2}+\overbrace {\left({\frac {b^{3}}{8a^{3}}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {d}{a}}\right)} ^{B}\cdot X\overbrace {-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {e}{a}}} ^{C}=0$ egyenletet.

3.) Összefoglalva az $a\cdot x^{4}+b\cdot x^{3}+c\cdot x^{2}+d\cdot x+e=0\,$ általános negyedfokú egyenlet egyik megoldása:

$x_{1}=-{\frac {b}{4a}}+{\sqrt {y_{1}}}+{\sqrt {y_{2}}}+{\sqrt {y_{3}}}$, ahol

$y_{1,2,3}\,$ az $y^{3}+{\frac {A}{2}}\cdot y^{2}+\left(\left({\frac {A}{4}}\right)^{2}-{\frac {C}{4}}\right)\cdot y-\left({\frac {B}{8}}\right)^{2}$ harmadfokú egyenlet gyökei és

${\begin{aligned}&A={\frac {c}{a}}-{\frac {3b^{2}}{8a^{2}}}\\&\\&B={\frac {b^{3}}{8a^{3}}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {d}{a}}\\&\\&C=-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {e}{a}}\\\end{aligned}}$

– Sajo ^vita 2009. március 1., 18:50 (CET)