Szeparábilis differenciálegyenlet

A matematikai analízisben szeparábilis (vagy szétválasztható változójú) differenciálegyenletnek olyan közönséges elsőrendű differenciálegyenletet nevezünk, mely előáll

y'=f(x)\!\cdot \!g(y)\,

szorzat alakban, ahol f és g két, intervallumon értelmezett függvény, y pedig – a keresett függvény – olyan differenciálható függvény, mely az f értelmezési tartományából a g értelmezési tartományába képez és y értelmezési tartományának minden x pontjára teljesül az ${\mbox{ }}_{y'(x)=f(x)\cdot g(y(x))\,}$ egyenlőség.

A változói szeparálásával oldható meg sok parciális differenciálegyenlet is. Ekkor szeparábilis megoldásnak nevezzük az olyan megoldást, mely előáll

z(x₁,x₂,…,x_n) = f₁(x₁)+ f₂(x₂)+ … +f_n(x_n) vagy

z(x₁,x₂,…,x_n) = f₁(x₁)

\cdot

f₂(x₂)

\cdot

…

\cdot

f_n(x_n)

alakban.

Formális megoldás

Tegyük fel, hogy az

y'=f(x)\!\cdot \!g(y)\,

szeparábilis differenciálegyenlet esetén f és g folytonos és g sehol sem nulla. Ekkor a megoldás formális lépései a következők:

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$	$=\,$	$f(x)\!\cdot \!g(y)\,$
${\frac {\mathrm {d} y}{g(y)}}$	$=\,$	$f(x)\,\mathrm {d} x\,$
$\textstyle \int {\cfrac {1}{g(y)}}\,\mathrm {d} y$	$=\,$	$\textstyle \int f(x)\,\mathrm {d} x\,$
$H(y)\,$	$=\,$	$F(x)+C\,$	implicit általános megoldás
$y(x)\,$	$=\,$	$H^{-1}(F(x)+C)\,$	explicit általános megoldás

ahol C olyan tetszőleges konstans, mellyel a H^-1 $\circ$ (F+C) függvénykompozíció nem elfajuló (vagyis az értelmezési tartományának van belső pontja).

Gyakran a H függvénynek (az 1/g primitív függvényének) olyan az alakja, hogy nem lehet felírni elemi függvények segítségével az inverzét. Ekkor vagy meghagyjuk implicit alakban a megoldást, vagy az inverzfüggvény-tételre hivatkozva lokális megoldásra utalunk.

Ha adott y₀ = y(x₀) kezdeti feltételt kielégítő megoldást keresünk, akkor a H(y₀) = F(x₀)+C egyenletből kell kifejeznünk C-t és megkapjuk az adott kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldást.

Egzisztencia-unicitás tétel

Tétel – Ha f : $I$ $\rightarrow$ R és g : $J$ $\rightarrow$ R korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvények és g sehol sem nulla, továbbá y₀ ∈ int $J$ és x₀ ∈ int $I$ akkor az

y'=f(x)\!\cdot \!g(y)\,\quad \quad [y_{0}=y(x_{0})]\,

kezdetiérték feladatnak van (nyílt intervallumon értelmezett differenciálható) megoldása és van olyan x₀ körüli K ⊆ $I$ nyílt intervallum, ahol bármely két megoldás egyenlő.

Bizonyítás. (Egzisztencia) Az 1/g függvény $J$ -n értelmezett folytonos függvény, így létezik integrálfüggvénye. Legyen az y₀-ban eltűnő integrálfüggvénye H. 1/g nem nulla, így az integrálszámítás első alaptétele és a globális inverzfüggvény tétel értelmében H invertálható és inverze diffeomorfizmus. Az y₀ pont belső pontja $J$ -nek, így létezik olyan V ⊆ $J$ nyílt környezete. H ezt a 0 ∈ U nyílt halmazba képezi és H(y₀)=0. De ha F az f függvény x₀-ban eltűnő integrálfüggvénye, akkor F(x₀) = 0 ∈ U, így F folytonossága miatt létezik x₀-nak mint $I$ egy belső pontjának olyan nyílt K környezete, hogy F(K) ⊆ U.

Ekkor az

y:K\rightarrow J;\;x\mapsto H^{-1}(F(x))

jól értelmezett, differenciálható függvény, mely – a kompozíció és az inverz függvény deriválására vonatkozó szabály értelmében – kielégíti a kezdetiérték feladatot.
(Unicitás) A formális megoldást végigkövetve látható, hogy az előbbi K intervallumon minden y megoldás a

H^-1

\circ

F

függvénnyel egyenlő.

Gyenge megoldások

Azt mondjuk, hogy az y ' = f(x)g(y) [y₀ = y(x₀)] kezdeti érték feladatnak y gyenge megoldása, ha y olyan intervallumon értelmezett folytonos függvény, mely megoldása a

y_{0}+\int \limits _{x_{0}}f\cdot (g\circ y)=y

integrálegyenletnek.

Állítás – Ha f : $I$ $\rightarrow$ R és g : $J$ $\rightarrow$ R integrálható függvények, rendre folytonosak x₀ ∈ int $I$ -ban és y₀ ∈ int $J$ -ben és ott nem nulla értékűek, akkor az y ' = f(x)g(y) [y₀ = y(x₀)] kezdeti érték feladatnak létezik gyenge megoldása.