„Centrum (algebra)” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
aNincs szerkesztési összefoglaló |
|||
2. sor: | 2. sor: | ||
Érthetőbben, ha adott egy G = (U,×) [[grupoid]] , ahol × egy kétváltozós művelet U-n; akkor e grupoid '''centrum'''a a |
Érthetőbben, ha adott egy G = (U,×) [[grupoid]] , ahol × egy kétváltozós művelet U-n; akkor e grupoid '''centrum'''a a |
||
<center> <math> Z(G) = Z_{G} = \left\{ z \in U \ | \ \forall g \in G \ : \ |
<center> <math> Z(G) = Z_{G} = \left\{ z \in U \ | \ \forall g \in G \ : \ zg = gz \right\} </math> <math> = </math> <math> \left\{ z \in U \ | \ zG = Gz \right\} </math> </center> halmaz . |
||
Ha egy R = (U,+,×) kétműveletes algebrai struktúra, általában [[gyűrű]] van adva, akkor ennek centruma a multiplikatív (U,*) grupoid centruma (gyűrűkben ugyanis (U,+) kommutatív csoport, melynek centruma triviálisan önmaga). |
Ha egy R = (U,+,×) kétműveletes algebrai struktúra, általában [[gyűrű]] van adva, akkor ennek centruma a multiplikatív (U,*) grupoid centruma (gyűrűkben ugyanis (U,+) kommutatív csoport, melynek centruma triviálisan önmaga). |
||
10. sor: | 10. sor: | ||
== Egységelemes grupoid centruma == |
== Egységelemes grupoid centruma == |
||
Ha G = (U, ×, e) [[egységelem]]es grupoid, azaz az e∈U elemre úgy hogy tetszőleges G-beli x elemre |
Ha G = (U, ×, e) [[egységelem]]es grupoid, azaz az e∈U elemre úgy hogy tetszőleges G-beli x elemre ex = xe = x ; akkor az egységelem természetesen definíciója szerint centrumelem, azaz ez esetben <math> e \in Z_{G} \ne \empty </math> . |
||
== Félcsoport centruma == |
== Félcsoport centruma == |
||
16. sor: | 16. sor: | ||
Ha G egy [[félcsoport]], azaz × [[asszociativitás|asszociatív]] művelet, akkor Z = Z(G)≤G rész-félcsoportja G-nek, azaz zárt a × szorzásra. |
Ha G egy [[félcsoport]], azaz × [[asszociativitás|asszociatív]] művelet, akkor Z = Z(G)≤G rész-félcsoportja G-nek, azaz zárt a × szorzásra. |
||
Az asszociativitás szerint ugyanis minden a,b,c∈G-re (ab)c = |
Az asszociativitás szerint ugyanis minden a,b,c∈G-re (ab)c = a(bc), tehát a u,z∈Z, azaz ux = xu és zx = xz tetszőleges G-beli x-re, akkor (uz)x = (u)(zx) = (u)(xz) = (ux)z = (xu)z = x(uz), tehát (uz)x = x(uz), az uz elem felcserélhető eszerint bármely G-beli elemmel, ha u és z is; s eszerint eleme Z-nek. |
||
== Csoport centruma == |
== Csoport centruma == |
||
22. sor: | 22. sor: | ||
Ha G = (U, ×, e) egy [[csoport]], azaz × az asszociativitáson kívül még [[invertálható művelet]], tehát létezik az e egységelem; továbbá minden g∈G-hez egy g<sup>-1<sup>∈G úgy, hogy g×g<sup>-1<sup> = g<sup>-1<sup>×g = e, akkor a G struktúra centruma is részstruktúra G-ben, azaz Z = Z(G) [[részcsoport]] G-ben. |
Ha G = (U, ×, e) egy [[csoport]], azaz × az asszociativitáson kívül még [[invertálható művelet]], tehát létezik az e egységelem; továbbá minden g∈G-hez egy g<sup>-1<sup>∈G úgy, hogy g×g<sup>-1<sup> = g<sup>-1<sup>×g = e, akkor a G struktúra centruma is részstruktúra G-ben, azaz Z = Z(G) [[részcsoport]] G-ben. |
||
Hogy Z(G) = Z zárt a × műveletre, azt [[#Félcsoport centruma|fentebb]] már láttuk. Hogy Z nem üres, azaz az egységelem az eleme, [[#Egységelemes grupoid centruma|fentebb]] azt is láttuk. Elegendő tehát a Z invertálhatóságát belátni. Ez abból a tételből következik, hogy ( |
Hogy Z(G) = Z zárt a × műveletre, azt [[#Félcsoport centruma|fentebb]] már láttuk. Hogy Z nem üres, azaz az egységelem az eleme, [[#Egységelemes grupoid centruma|fentebb]] azt is láttuk. Elegendő tehát a Z invertálhatóságát belátni. Ez abból a tételből következik, hogy (ab)<sup>-1</sup> = a<sup>-1</sup>b<sup>-1</sup> tetszőleges G csoportban. Ekkor ugyanis ha z∈Z, azaz minden x-re zx = xz, akkor ezt az egyenlőséget invertálva, a baloldalból (zx)<sup>-1</sup> = x<sup>-1</sup>z<sup>-1</sup> lesz, míg a jobboldalból (xz)<sup>-1</sup> = z<sup>-1</sup>x<sup>-1</sup> , és ezek továbbra is egyenlőek: x<sup>-1</sup>z<sup>-1</sup> = z<sup>-1</sup>x<sup>-1</sup> ; s utóbbi (figyelembe véve, hogy az i(x): G→G; i(x) = x<sup>-1</sup> leképezés [[szürjektivitás|szürjektív]]) épp azt jelenti, z<sup>-1</sup>∈Z is centrumelem. |
||
Ennél több is teljesül, nevezetesen a centrum [[normális részcsoport|normálosztó]] G-ben. Ez adódik a definícióból, hisz egy G csoport (tartóhalmazának) nem üres N részhalmaza definíció szerint épp akkor normálosztó, ha <math> \forall g \in G \ : \ g \times N = N \times g </math> . |
Ennél több is teljesül, nevezetesen a centrum [[normális részcsoport|normálosztó]] G-ben. Ez adódik a definícióból, hisz egy G csoport (tartóhalmazának) nem üres N részhalmaza definíció szerint épp akkor normálosztó, ha <math> \forall g \in G \ : \ g \times N = N \times g </math> . |
||
A fenti állítás egy gyakran előforduló másféle bizonyítása a [[konjugált (csoportelmélet)|konjugálás]] nevű műveletre építkezik. Ha a,b∈G, akkor az a elem b-vel való konjugáltjának az a°b := b<sup>-1</sup> |
A fenti állítás egy gyakran előforduló másféle bizonyítása a [[konjugált (csoportelmélet)|konjugálás]] nevű műveletre építkezik. Ha a,b∈G, akkor az a elem b-vel való konjugáltjának az a°b := b<sup>-1</sup>ab elemet nevezzük; nem nehéz belátni, hogy egy egy N≤G részcsoport akkor és csak akkor normális részcsoport G-ben, ha bármely elemének bármely G-beli elemmel való konjugáltja N-beli, azaz ha G<sup>-1</sup>NG=N. |
||
* Ezt nem nehéz belátni: N definíció szerint akkor normális részcsoport, ha aN = Na bármely G-beli a-ra, azaz ha vannak olyan N-beli n,m elemek, hogy an = ma legyen, ekkor jobbról szorozva a inverzével, n°a = ana<sup>-1</sup> = m∈N tényleg igaz; ha pedig ez utóbbi igaz, akkor jobbról szorozva a-val an = ma adódik. Tehát a normálosztóság a konjugálással valóban így jellemezhető. |
* Ezt nem nehéz belátni: N definíció szerint akkor normális részcsoport, ha aN = Na bármely G-beli a-ra, azaz ha vannak olyan N-beli n,m elemek, hogy an = ma legyen, ekkor jobbról szorozva a inverzével, n°a = ana<sup>-1</sup> = m∈N tényleg igaz; ha pedig ez utóbbi igaz, akkor jobbról szorozva a-val an = ma adódik. Tehát a normálosztóság a konjugálással valóban így jellemezhető. |
||
* Ha pedig így van, akkor elegendő megmutatni, hogy centrumelem bármely konjugáltja is centrumelem, és ebből következik, hogy a centrum normálosztó. Ha c&isinC(G), akkor tetszőleges g∈G-re gc = cg, ekkor szorozva g inverzével jobbról, gcg<sup>-1</sup> = c ∈ C(G), tehát C(G) normálosztó. Sőt az is látható, hogy épp a centrum elemei azok, melyeket bármely elemmel való konjugálás helybenhagy. |
* Ha pedig így van, akkor elegendő megmutatni, hogy centrumelem bármely konjugáltja is centrumelem, és ebből következik, hogy a centrum normálosztó. Ha c&isinC(G), akkor tetszőleges g∈G-re gc = cg, ekkor szorozva g inverzével jobbról, gcg<sup>-1</sup> = c ∈ C(G), tehát C(G) normálosztó. Sőt az is látható, hogy épp a centrum elemei azok, melyeket bármely elemmel való konjugálás helybenhagy. |
A lap 2005. február 4., 23:33-kori változata
A centrum a matematika absztrakt algebra nevű ágában egy- vagy kétműveletes struktúrák alaphalmazának (univerzumának) olyan részhalmazát, esetleg a struktúra olyan részstruktúráját jelenti, melynek minden eleme felcserélhető az alaphalmaz összes többi elemével a struktúra adott bináris műveletét végezve.
Érthetőbben, ha adott egy G = (U,×) grupoid , ahol × egy kétváltozós művelet U-n; akkor e grupoid centruma a
halmaz .
Ha egy R = (U,+,×) kétműveletes algebrai struktúra, általában gyűrű van adva, akkor ennek centruma a multiplikatív (U,*) grupoid centruma (gyűrűkben ugyanis (U,+) kommutatív csoport, melynek centruma triviálisan önmaga).
A Lie-algebrák elméletében értelmezhető egy fogalom, melyet szintén „centrumnak” neveznek, erről ld. ott.
Egységelemes grupoid centruma
Ha G = (U, ×, e) egységelemes grupoid, azaz az e∈U elemre úgy hogy tetszőleges G-beli x elemre ex = xe = x ; akkor az egységelem természetesen definíciója szerint centrumelem, azaz ez esetben .
Félcsoport centruma
Ha G egy félcsoport, azaz × asszociatív művelet, akkor Z = Z(G)≤G rész-félcsoportja G-nek, azaz zárt a × szorzásra.
Az asszociativitás szerint ugyanis minden a,b,c∈G-re (ab)c = a(bc), tehát a u,z∈Z, azaz ux = xu és zx = xz tetszőleges G-beli x-re, akkor (uz)x = (u)(zx) = (u)(xz) = (ux)z = (xu)z = x(uz), tehát (uz)x = x(uz), az uz elem felcserélhető eszerint bármely G-beli elemmel, ha u és z is; s eszerint eleme Z-nek.
Csoport centruma
Ha G = (U, ×, e) egy csoport, azaz × az asszociativitáson kívül még invertálható művelet, tehát létezik az e egységelem; továbbá minden g∈G-hez egy g-1∈G úgy, hogy g×g-1 = g-1×g = e, akkor a G struktúra centruma is részstruktúra G-ben, azaz Z = Z(G) részcsoport G-ben.
Hogy Z(G) = Z zárt a × műveletre, azt fentebb már láttuk. Hogy Z nem üres, azaz az egységelem az eleme, fentebb azt is láttuk. Elegendő tehát a Z invertálhatóságát belátni. Ez abból a tételből következik, hogy (ab)-1 = a-1b-1 tetszőleges G csoportban. Ekkor ugyanis ha z∈Z, azaz minden x-re zx = xz, akkor ezt az egyenlőséget invertálva, a baloldalból (zx)-1 = x-1z-1 lesz, míg a jobboldalból (xz)-1 = z-1x-1 , és ezek továbbra is egyenlőek: x-1z-1 = z-1x-1 ; s utóbbi (figyelembe véve, hogy az i(x): G→G; i(x) = x-1 leképezés szürjektív) épp azt jelenti, z-1∈Z is centrumelem.
Ennél több is teljesül, nevezetesen a centrum normálosztó G-ben. Ez adódik a definícióból, hisz egy G csoport (tartóhalmazának) nem üres N részhalmaza definíció szerint épp akkor normálosztó, ha .
A fenti állítás egy gyakran előforduló másféle bizonyítása a konjugálás nevű műveletre építkezik. Ha a,b∈G, akkor az a elem b-vel való konjugáltjának az a°b := b-1ab elemet nevezzük; nem nehéz belátni, hogy egy egy N≤G részcsoport akkor és csak akkor normális részcsoport G-ben, ha bármely elemének bármely G-beli elemmel való konjugáltja N-beli, azaz ha G-1NG=N.
- Ezt nem nehéz belátni: N definíció szerint akkor normális részcsoport, ha aN = Na bármely G-beli a-ra, azaz ha vannak olyan N-beli n,m elemek, hogy an = ma legyen, ekkor jobbról szorozva a inverzével, n°a = ana-1 = m∈N tényleg igaz; ha pedig ez utóbbi igaz, akkor jobbról szorozva a-val an = ma adódik. Tehát a normálosztóság a konjugálással valóban így jellemezhető.
- Ha pedig így van, akkor elegendő megmutatni, hogy centrumelem bármely konjugáltja is centrumelem, és ebből következik, hogy a centrum normálosztó. Ha c&isinC(G), akkor tetszőleges g∈G-re gc = cg, ekkor szorozva g inverzével jobbról, gcg-1 = c ∈ C(G), tehát C(G) normálosztó. Sőt az is látható, hogy épp a centrum elemei azok, melyeket bármely elemmel való konjugálás helybenhagy.
Gyűrű centruma
Az R = (U, +, × ) gyűrű centruma az R* := (R\{0} , ×) multiplikatív félcsoport centruma a nullelemmel bővítve, jele C(R). Tehát a centrum most is a minden elemmel felcserélhetően szorozható elemek halmaza (a nullelem id mindennel felcserélhető, viszont a multiplikatív félcsoportnak és így annak centrumának sem eleme.)
Ez részgyűrű, ugyanis nem üres (a 0 biztosan eleme); ha a,b∈C(R), akkor xa=ax és xb=bx tetszőleges x∈R esetén, ekkor (a+b)x = ax+bx = xa+xb = x(a+b), tehát a+b is centrumelem, C(R) zárt az összeadásra; azonkívül (ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = (xa)b = x(ab), azaz ab is centrumelem, tehát C(R) zárt a szorzásra is. (C(R), +, ×)≤R az R gyűrű egy kommutatív részgyűrűje.