„Uniform tér” változatai közötti eltérés

[nem ellenőrzött változat]

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva

Sorban

A lap 2007. február 25., 19:42-kori változata

Matematikában, azon belül a topológia területén használatos fogalom az uniform tér, ami az egyenletes tulajdonságokat (teljesség, egyenletes konvergencia, egyenletesen folytonos) igyekszik megragadni. Egy uniform tér nem más, mint egy uniform struktúrával felruházott halmaz. Erősebb, mint egy topologikus tér (minden uniform tér egyben topologikus tér is), de általánosabb, mint egy metrikus tér vagy egy topologikus csoport.

Definíció

Szomszédsággal

Egy uniform tér egy halmaz-párból áll, $(X,\Phi )$ , ahol $X$ a tér alaphalmaza, $\Phi \subseteq 2^{X\times X}$ pedig a szomszédságok (franciául entourage) halmaza, a következő feltételekkel:

Minden $U\in \Phi$ tartalmazza az átlót: $\{(x,x):x\in U\}$
Ha $U\in \Phi$ , és $U\subseteq V\subseteq X\times X$ , akkor $V\in \Phi$
Ha $U,V\in \Phi$ , akkor $U\cap V\in \Phi$
Ha $U\in \Phi$ , akkor létezik egy $V$ eleme $\Phi$ -nek, hogy valahányszor $(x,y)\in V$ és $(y,z)\in V$ , akkor $(x,z)\in U$
Minden $U\in \Phi$ -hez annak „tükörképe”, $\{(y,x):(y,x)\in U\}$ is eleme $\Phi$ -nek.

Uniform fedéssel

Ez a szakasz egyelőre üres vagy erősen hiányos. Segíts te is a kibővítésében!

Kapcsolat más struktúrákkal

Bármely $(X,\Phi )$ metrikus térhez hozzárendelhető egy uniform struktúra oly módon, hogy egy $V\subseteq X\times X$ pontosan akkor lesz szomszédság, ha létezik egy $\varepsilon >0$ valós szám, hogy minden $x$ , $y$ párra, ha $d(x,y)<\varepsilon$ , akkor $(x,y)$ benne van $V$ -ben.

Egy $G$ topologikus csoport uniform struktúrája úgy definiálható, hogy egy $V$ halmaz pontosan akkor legyen szomszédság, amennyiben létezik az egységelemnek egy $U$ környezete, hogy $\{(x,y):x\cdot y^{-1}\in U\}$ része $V$ -nek.

Minden uniform téren természetes módon értelmezhető egy topologikus struktúra, nevezetesen egy $G$ halmaz pontosan akkor legyen nyílt, ha bármely $x\in G$ -hez létezik egy olyan $V$ szomszédság, hogy $V[x]$ ( $V$ -nek $x$ -szel vett szelete, azaz $\{y:(x,y)\in V\}$ ) része legyen $G$ -nek. Két különböző uniform térnek lehet azonos a topologikus struktúrája.

Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
-[[Matematika|Matematikában]], azon belül a [[topológia]] területén használatos fogalom az '''uniform tér''', ami az ''egyenletes'' tulajdonságokat ([[teljes]]ség, [[egyenletes konvergencia]], [[egyenletesen folytonos]]) igyekszik megragadni. Erősebbek, mint a [[topologikus tér|topologikus terek]] (minden uniform tér egyben topologikus tér is), de általánosabbak, mint a [[metrikus tér|metrikus terek]] vagy a [[topologikus csoport]]ok.
+[[Matematika|Matematikában]], azon belül a [[topológia]] területén használatos fogalom az '''uniform tér''', ami az ''egyenletes'' tulajdonságokat ([[teljes]]ség, [[egyenletes konvergencia]], [[egyenletesen folytonos]]) igyekszik megragadni. Egy uniform tér nem más, mint egy '''uniform struktúrával''' felruházott halmaz. Erősebb, mint egy [[topologikus tér]] (minden uniform tér egyben topologikus tér is), de általánosabb, mint egy [[metrikus tér]] vagy egy [[topologikus csoport]].
 ==Definíció==
 ===Szomszédsággal===
-Egy uniform tér egy halmaz-párból áll, <math>(X, \Phi)</math>, ahol <math>X</math> a tér alaphalmaza, <math>\Phi\subseteq 2^{X\times X}</math> pedig a szomszédságok (''entourage'' franciául) halmaza, a következő feltételekkel:
+Egy uniform tér egy halmaz-párból áll, <math>(X, \Phi)</math>, ahol <math>X</math> a tér alaphalmaza, <math>\Phi\subseteq 2^{X\times X}</math> pedig a szomszédságok (franciául ''entourage'') halmaza, a következő feltételekkel:
 # Minden <math>U\in\Phi</math> tartalmazza az átlót: <math>\{(x, x): x\in U\}</math>
@@ 10. sor: / 10. sor: @@
 # Ha <math>U\in\Phi</math>, akkor létezik egy <math>V</math> eleme <math>\Phi</math>-nek, hogy valahányszor <math>(x, y)\in V</math> és <math>(y, z)\in V</math>, akkor <math>(x, z)\in U</math>
 # Minden <math>U\in\Phi</math>-hez annak „tükörképe”, <math>\{(y, x):(y, x)\in U\}</math> is eleme <math>\Phi</math>-nek.
+===Uniform fedéssel===
+{{csonk-szakasz}}
+==Kapcsolat más struktúrákkal==
+Bármely <math>(X, \Phi)</math> metrikus térhez hozzárendelhető egy uniform struktúra oly módon, hogy egy <math>V\subseteq X\times X</math> pontosan akkor lesz szomszédság, ha létezik egy <math>\varepsilon>0</math> valós szám, hogy minden <math>x</math>, <math>y</math> párra, ha <math>d(x, y)<\varepsilon</math>, akkor <math>(x, y)</math> benne van <math>V</math>-ben.
+Egy <math>G</math> topologikus csoport uniform struktúrája úgy definiálható, hogy egy <math>V</math> halmaz pontosan akkor legyen szomszédság, amennyiben létezik az [[egységelem]]nek egy <math>U</math> [[környezet (topológia)|környezet]]e, hogy <math>\{(x, y):x\cdot y^{-1}\in U\}</math> része <math>V</math>-nek.
+Minden uniform téren természetes módon értelmezhető egy topologikus struktúra, nevezetesen egy <math>G</math> halmaz pontosan akkor legyen [[nyílt]], ha bármely <math>x\in G</math>-hez létezik egy olyan <math>V</math> szomszédság, hogy <math>V[x]</math> (<math>V</math>-nek <math>x</math>-szel vett szelete, azaz <math>\{y: (x, y)\in V\}</math>) része legyen <math>G</math>-nek. Két különböző uniform térnek lehet azonos a topologikus struktúrája.
 {{csonk-mat}}