Poisson-tényező

Poisson-tényező ($\mu$) a szilárd testek mechanikájában használt szám. Egyirányú feszültségi állapotnál (húzott vagy nyomott rúdnál) a keresztirányú alakváltozás és a hosszirányú alakváltozás viszonya. Siméon Denis Poisson (1781-1840) francia matematikus és fizikusról kapta nevét. A Poisson-tényező dimenziónélküli mennyiség, nem jellemzi az anyag rugalmasságát vagy merevségét, csak azt a módot, ahogy alakváltozást szenved. Ha egy izotróp anyagban létezik egy m irány, amelyikben ébredő feszültség σ_m ≠ 0 (és a többi irányban a feszültség egyenlő nullával), akkor a Poisson tényező:

$\mu ={\varepsilon _{n} \over \varepsilon _{m}}$

ahol: ε – az alakváltozás, n – tetszőleges, m-re merőleges irány.

Ha egy d átmérőjű, L hosszúságú rudat meghúzunk, úgy hogy az erő irányába ΔL értékkel megnyúlik, az átmérő csökkenését így számíthatjuk ki:

$\Delta d=-d\cdot \mu {{\Delta L} \over L}$

Ez a képlet kis alakváltozásoknál érvényes. Jelentősebb alakváltozásoknál az alábbi egyenlet pontosabb értéket ad (feltéve, hogy μ=const):

$\Delta d=-d\cdot \left(1-{\left(1+{{\Delta L} \over L}\right)}^{-\mu }\right)$

A fenti képletek lehetőséget adnak a Poisson-tényező közvetlen mérésére statikus szakítópróba segítségével, bár a fellépő kis alakváltozások nem tesznek lehetővé pontos méréseket.

A Poisson tényezővel lehet kifejezni az összefüggést az E rugalmassági modulus és a G nyírási rugalmassági modulus között:

$G={\frac {E}{2(1+\mu )}}$

A ΔV/V fajlagos térfogatváltozás egyirányú feszültségállapot alatt az alábbi képlettel számítható:

${\frac {\Delta V}{V}}=(1-2\mu ){\frac {\Delta l}{l}}$.

A Poisson tényező értékére fennáll (kivétel az auxetikus anyagok):

$0<\mu <{1 \over 2}$

$\mu =0,5$ esetén az alakváltozásnál a test térfogata nem változik. A szokásos anyagoknál a Poisson-tényező 0,1 és 0,4 közötti értéket vesz fel. Néhány anyag Poisson-tényezője:

• ideális folyadék 0,5
• reális folyadék (víz) 0,499
• Alumínium: 0,33
• Acél: 0,2-0,33
• Beton: 0,2
• Ólom: 0,45
• Sárgaréz: 0,37
• Üveg: 0,23
• SiC: 0,17
• Si₃N₄: 0,25
• fa: 0,21

Kapcsolata más rugalmas jellemzőkkel

Átszámítási képletek (nyitható táblázat)
Homogén izotróp tulajdonságú anyagok tulajdonságai kiszámíthatóak, ha legalább két másik tulajdonságuk ismert
	$(\lambda ,\,G)$	$(E,\,G)$	$(K,\,\lambda )$	$(K,\,G)$	$(\lambda ,\,\nu )$	$(G,\,\nu )$	$(E,\,\nu )$	$(K,\,\nu )$	$(K,\,E)$	$(M,\,G)$
$K=\,$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$			${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$			$M-{\tfrac {4G}{3}}$
$E=\,$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$	${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$	$2G(1+\nu )\,$		$3K(1-2\nu )\,$		${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$
$\lambda =\,$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$	${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	$M-2G\,$
$G=\,$			${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$
$\nu =\,$	${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$					${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$M=\,$	$\lambda +2G\,$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$	$3K-2\lambda \,$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$	${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$