Peremérték-probléma

A matematikában, differenciálegyenletek területén, a határérték probléma egy differenciálegyenlet egy sor korlátozással, amiket peremfeltételeknek nevezünk. A peremérték probléma megoldása a differenciálegyenlet azon megoldása, amely kielégíti a peremfeltételeket.

A peremérték-problémák a fizika több ágában megjelennek, mint bármely más differenciálegyenlet. A fontos peremérték-problémák egyik tág osztálya a Sturm–Liouville problémák.

Ahhoz, hogy egy peremérték-probléma hasznos legyen valamilyen alkalmazás során, ahhoz jól meg kell legyen határozva. Ez azt jelenti, hogy a bemeneti problémának csak egy megoldása van, ami folyamatosan függ a bemenettől. A parciális differenciálegyenletek terén végzet munkák bizonyítják, hogy a tudományos és mérnöki alkalmazásokból származó peremérték-problémák jól meg vannak határozva.

A legelső tanulmányozott peremérték-probléma a Dirichlet-probléma, a harmonikus függvények (a Lagrange-egyenlet megoldásai) megtalálása.

Kezdeti érték probléma

A különbség a kezdeti érték probléma és a peremérték-probléma között abban áll, hogy a kezdeti érték problémában minden feltétel meg van határozva az egyenletben szereplő független változó ugyanazon értékére (és ez az érték az alsó határ közelében van, ezt nevezzük "kezdeti" értéknek). Más szóval, a peremérték-problémának meghatározott feltételei vannak a független változó szélső értékeire. Például a független változó legyen az idő, ami a [0,1] intervallumról vesz értékeket, akkor egy kezdeti érték probléma meghatározza az y(t) és y'(t) értékeket t=0 pillanatban, mig a peremérték-probléma meghatározza az y(t) értéket t=0 és t=1 időpillanatra is.

Ha a probléma függ a tértől és időtől is, akkor ahelyett, hogy meghatároznánk a probléma értékét egy adott pontra minden időpillanatban, ahelyett meghatározható egy adott időpillanatban minden pontra. Például egy vas rúd egyik végét abszolút nulla fokon, mig a másikat a viz forráspontján tartjuk, akkor ez egy peremérték-probléma lesz.

Konkrétan egy példa a peremérték-problémára (egydimenziós térben)

$y''(x)+y(x)=0\,$

amit meg kell oldanunk y(x) ismeretlen függvény esetén, a következő peremérték feltételekre

$y(0)=0,\ y(\pi /2)=2.$

Peremérték feltételek nélkül az egyenlet általános megoldása

$y(x)=A\sin(x)+B\cos(x).\,$

Az y(0)=0 peremérték feltételből következik

$0=A\cdot 0+B\cdot 1$

ahonnan $B=0.$ Az $y(\pi /2)=2$ peremérték feltételből

$2=A\cdot 1$

így $A=2.$ Ez esetben az egyedi megoldás

$y(x)=2\sin(x).\,$

Peremérték-problémák tipusai

A peremérték probléma egy ideális 2D rúd esetén

Ha a peremérték egy értéket ad a probléma deriváltjának, akkor ez egy Neumann peremérték feltétel. Például, ha melegítjük egy vasrúd egyik végét, akkor az energia konstans ütemben fog hozzáadódni, de a pillanatnyi hőmérséklet nem lesz ismert.

Ha a határérték egy értéket ad a problémának, akkor ez egy Dirichlet peremérték feltétel. Például, ha egy vasrúd egyik végét abszolút nulla fokon tartjuk, akkor a probléma értéke ismert lesz ebben a pontban a térben.

Ha a peremérték alakja egy görbe vagy egy felület, ami megadja a derivált és a probléma értékét is egy időben, akkor ez egy Cauchy peremérték feltétel.

Kapcsolódó szócikkek

Kapcsolódó matematika:

• kezdeti érték probléma
• differenciál egyenletek

Fizikai kifejezések:

• Laplace egyenlet

Numerikus algoritmusok:

• Belövéses módszer
• Véges differenciáltak módszere

Források

• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2.
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.

Külső linkek

• Linear Partial Differential Equations: Exact Solutions and Boundary Value Problems at EqWorld: The World of Mathematical Equations.