Ugrás a tartalomhoz

Paraboloid koordináta-rendszer

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A háromdimenziós paraboloid koordináta-rendszer koordinátafelületei

A paraboloid koordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, ami a parabolikus koordináta-rendszer térbeli általánosítása a koordinátákkal. Koordinátafelületei elliptikus paraboloidok. Különbözik a parabolikus hengerkoordináta-rendszertől és a forgásparaboloid koordináta-rendszertől, melyek szintén a kétdimenziós parabolikus koordináta-rendszer térbeli általánosításai. Az előbbi koordinátafelületei parabolikus hengerek, míg a másodiké forgásparaboloidok. Szemben a másik két koordináta-rendszertől, nem kapható meg a kétdimenziós parabolikus koordináta-rendszer vetítésével vagy forgatásával.

Alapképletek

[szerkesztés]

Az Descartes-koordináták a következő egyenletekkel kaphatók meg a koordinátákból:[1]

ahol

Következik, hogy a konstans -jű felületek lefelé nyitott elliptikus paraboloidok:

a konstans -höz tartozó koordinátafelületek felfelé nyitott elliptikus paraboloidok:

a konstans -hoz tartozó felületek hiperbolikus paraboloidok:

Skálázási tényezők

[szerkesztés]

A paraboloid koordináták skálázási tényezői:[2]

így az infinitezimális térfogatelem

Differenciáloperátorok

[szerkesztés]

A differenciáloperátorok kifejezhetők a koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe. Például a gradiens:

és a Laplace-operátor:

Alkalmazások

[szerkesztés]

A paraboloid koordináta-rendszer hasznos bizonyos differenciálegyenletek megoldásához. Például a Laplace-egyenlet és a Helmholtz-egyenlet szeparábilis a paraboloid koordinátákban. Így a koordináta-rendszer használható paraboloid szimmetriájú rendszerekben, például amikor a peremfeltételek paraboloidszeleten vannak megadva.

A Helmholtz-egyenlet . Elvégezve a helyettesítést, a leválasztott egyenletek: [3]

ahol és szeparációs konstansok. Hasonlóan, a Laplace-egyenlet megkapható a helyettesítéssel a fentiekbe.

A leválasztott egyenletek mindegyike a Baer-egyenlet alakjára hozható. Azonban az egyenletek közvetlen megoldása nehézkes, mivel az és konstansok mindegyike megjelenik minden egyenletben.

A fenti megközelítéssel a paraboloid koordináták használhatók egy paraboloid alakú vezető elektromos mezőjének megoldásához.[4]

Jegyzetek

[szerkesztés]
  1. Yoon, LCLY & M, Willatzen (2011), Separable Boundary-Value Problems in Physics, Wiley-VCH, p. 217, ISBN 978-3-527-63492-7
  2. Willatzen and Yoon (2011), p. 219
  3. Willatzen and Yoon (2011), p. 227
  4. Duggen, L; Willatzen, M & Voon, L C Lew Yan (2012), "Laplace boundary-value problem in paraboloidal coordinates", European Journal of Physics 33 (3): 689--696, DOI 10.1088/0143-0807/33/3/689

Források

[szerkesztés]

Fordítás

[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Paraboloidal coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.