Forgásparaboloid koordináta-rendszer

A háromdimenziós forgásparaboloid koordináta-rendszer koordinátafelületei. A piros paraboloid megfelel a τ=2 értéknek, a kék paraboloid a σ=1 koordinátához tartozik, és a sárga félsík a φ=-60°-hoz tartozik. A három felület a P pontban metszi egymást (fekete gömb), melynek Descartes-koordinátái megközelítőleg (1,0; -1,732; 1,5)

A forgásparaboloid koordináta-rendszer a kétdimenziós parabolikus koordináták egy háromdimenziós általánosítása, és a paraboloid koordináta-rendszer speciális esete. A kétdimenziós koordináta-rendszerből annak szimmetriatengelye körüli megforgatásával keletkezik. Egy további általánosítás a parabolikus hengerkoordináta-rendszer, ami a $z$-tengely irányába való vetítéssel származtatható.

A Descartes-koordinátákkal kifejezve:

$x=\sigma \tau \cos \varphi$

$y=\sigma \tau \sin \varphi$

$z={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)$

ahol a parabolák közös tengelye a $z$-tengely, ami egyben a forgatás tengelye is. Így a $\phi$ azimut definíciója:

$\operatorname {tg} \varphi ={\frac {y}{x}}$

A konstans $\sigma$-jú felületek felfelé nyitott konfokális forgásparaboloidok:

$2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}$

míg a konstans $\tau$-jú felületek lefelé nyitott konfokális paraboloidok:

$2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}$

Mindezen paraboloidok közös fókusza az origó.

A koordináta-rendszerrel asszociált Riemann-féle metrikus tenzor:

$g_{ij}={\begin{bmatrix}\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0&0\\0&\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0\\0&0&\sigma ^{2}\tau ^{2}\end{bmatrix}}$

Skálázási tényezők

A skálázási tényezők:

$h_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}$

$h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}$

$h_{\varphi }=\sigma \tau$

Látható, hogy a $h_{\sigma }$ és $h_{\tau }$ skálázási tényezők megegyeznek a parabolikus koordináta-rendszer skálázási tényezőivel. Az infinitezimális térfogatelem:

$dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\varphi }\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi =\sigma \tau \left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi$

és a Laplace-operátor:

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}$

A további differenciáloperátorok, mint $\nabla \cdot \mathbf {F}$ és $\nabla \times \mathbf {F}$ kifejezhetők a $(\sigma ,\tau ,\varphi )$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Források

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, 660. o. (1953). ISBN 0-07-043316-X 
• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand, 185–186. o. (1956) 
• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 180. o.. ASIN B0000CKZX7 (1961) 
• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag, 96. o. (1967) 
• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett, 114. o. (1992). ISBN 0-86720-293-9  Same as Morse & Feshbach (1953), substituting u_k for ξ_k.
• Moon P, Spencer DE. Parabolic Coordinates (μ, ν, ψ), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print, New York: Springer-Verlag, 34–36 (Table 1.08). o. (1988). ISBN 978-0-387-18430-2 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Parabolic coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.