Páraxióma

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A páraxióma a halmazelmélet rendszereinek tipikus axiómája:

Ha x és y halmazok, akkor létezik egy olyan z halmaz, amelynek x és y eleme, más eleme viszont nincs.

Egy másik tipikus halmazelméleti axióma, az extenzionalitási axióma biztosítja, hogy adott x-hez és y-hoz egyetlen ilyen z párhalmaz létezik. A párhalmaz bevett jelölése: . Speciális esetként x és y lehet ugyanaz a halmaz is; az axióma tehát az egyelemű halmazok létezését is szavatolja. Ezeket -szel jelöljük.

Változatok[szerkesztés]

  • A komprehenziós séma lehetővé teszi a páraxióma következő gyengítését:
A párhalmaz létezését tetszőleges x, y és megfelelő z esetén az komprehenzió biztosítja.
Ha x és y halmazok, akkor a osztály is halmaz.
( az osztályrealista halmazelméletek halmazpredikátuma.)

Története[szerkesztés]

A páraxióma megtalálható volt már Ernst Zermelo 1908-as axiómarendszerében is, az elemi halmazok axiómája (Axiom der Elementarmengen) részeként. Rendszerint szerepel a standard Zermelo-Fraenkel axiómarendszerben is; valamint ennek variánsaiban és a különféle osztályrealista halmazelméletekben.

Párhalmaz és rendezett pár[szerkesztés]

Egy halmaz elemeinek nincs sorrendje; ugyanaz a halmaz, mint . Mégis általában csak a párhalmaz fogalmára támaszkodva tudjuk definiálni a rendezett párokat. A legelterjedtebb meghatározás Kazimierz Kuratowskitól származik 1921-ből:

A páraxióma kiküszöbölése[szerkesztés]

A legtöbb halmazelméleti axiómarendszerben a páraxióma bizonyítható; így csak kényelmi okokból szokták szerepeltetni. Közismert például az alábbi bizonyítás a standard Zermelo-Fraenkel halmazelméletben:

Létezik legalább egy x halmaz. (Ez logikai igazság: .) A komprehenziós axiómaséma értelmében létezik az halmaz is. Mivel minden azonos önmagával (ez is logikai igazság: ), ez , az üres halmaz. A hatványhalmaz-axióma miatt létezik és is. Az utóbbi kételemű halmaz. Így a pótlás axiómasémája értelmében minden párhalmaz létezik. ■

Ez a bizonyítás nem alkalmazható a Zermelo-halmazelméletben, mert ott hiányzik a pótlás axiómasémája.

Hivatkozások[szerkesztés]

  • Thomas Jech: Set Theory: The Third Millennium Edition. Springer, 2003.
  • Jean van Heijenoort: From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard University Press, 1967.