Nyílt-zárt halmaz

A topológiában egy topologikus tér részhalmaza nyílt-zárt, ha nyílt és zárt is. Mivel a nyílt és a zárt szavak ellentétes jelentésűek, ezért ezek a halmazok ellentmondanak az intuíciónak. A definíciók azonban nem mondanak ellent egymásnak, mert ha egy halmaz zárt, akkor a komplementerének kell nyíltnak lennie, ami nem tiltja azt, hogy annak a komplementere, tehát az eredeti halmaz is nyílt lehessen. Ekkor az eredeti halmaz és komplementere is nyílt-zárt halmaz.

Példák

Minden topologikus tér tartóhalmaza nyílt-zárt az üres halmazzal együtt. Az összefüggő topologikus terekben nincs is más nyílt-zárt halmaz.

Tekintsük az X = (0,1) ∪ (2,3) nyílt intervallumok unióját az $\mathbb {R}$-ből örökölt szokásos altértopológiával! Ekkor a (0,1) és a (2,3) halmazok nyílt-zártak X-ben. Ez egy jellemző példa: ha a topologikus tér nem összefüggő, akkor összefüggőségi komponensei nyílt-zártak.

Tekintsük most a racionális számok $\mathbb {Q}$ halmazát a szokásos topológiával, és álljon az A halmaz azokból a racionális számokból, melyek négyzete nagyobb, mint 2! Mivel ${\sqrt {2}}$ nem racionális, ezért ez a halmaz nyílt-zárt $\mathbb {Q}$-ban. A valós számokon azonban nem nyílt, és nem zárt.

Általában egy halmaz összefüggőségi komponensei nem nyíltak és nem zártak. A természetes számok halmazának Alexandrov-kompaktifikációja egy végtelenben fekvő pontot ad a halmazhoz, ami egy újabb összefüggőségi komponens, ami nem nyílt.

Tulajdonságok

• Egy topologikus tér összefüggő, ha nincsenek más nyílt-zárt részhalmazai önmagán és az üres halmazon kívül.
• Egy halmaz nyílt-zárt akkor és csak akkor, ha határa üres.
• Minden nyílt-zárt részhalmaz összefüggőségi komponensek uniója.
• Ha az X topologikus tér összefüggőségi komponensei nyíltak, például véges sok van belőlük, vagy a tér lokálisan összefüggő, akkor az összefüggőségi komponensek közül akárhány uniója nyílt-zárt.
• Egy topologikus tér diszkrét, ha minden pontja nyílt-zárt.
• Egy adott topologikus tér nyílt-zárt részhalmazai Boole-algebrát alkotnak az unió és a metszet műveletére. Stone reprezentációs tétele szerint minden Boole-algebra előállítható ezen a módon.
• Egy topologikus csoport nyílt részcsoportja zárt is. A véges indexű zárt részcsoportok nyíltak is.

Források

• Sidney A. Morris: Topology Without Tears. [2013. április 19-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2013. április 4.)
• V. I. Ponomarev: Open-closed Set. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 online ([1])