A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A Morrie-tétel egy trigonometrikus azonosság , amely kimondja, hogy
cos
20
∘
⋅
cos
40
∘
⋅
cos
80
∘
=
1
8
.
{\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}.}
Ez egy speciális esete a következő általánosabb azonosságnak:
2
n
⋅
∏
k
=
0
n
−
1
cos
(
2
k
α
)
=
sin
(
2
n
α
)
sin
(
α
)
,
{\displaystyle 2^{n}\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{\sin(\alpha )}},}
méghozzá
n
=
3
{\displaystyle n=3}
α
=
20
∘
{\displaystyle \alpha =20^{\circ }}
A név Richard Feynmantól származik, aki ezen a néven hivatkozott az azonosságra, ugyanis gyermekkorában hallott róla először egy Morrie Jacobs nevű fiútól.[1]
Egy hasonló azonosság létezik a szinusz szögfüggvényre is:
sin
20
∘
⋅
sin
40
∘
⋅
sin
80
∘
=
3
8
.
{\displaystyle \sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}.}
Továbbá, a második azonosságot elosztva az elsővel azt kapjuk, hogy
tan
20
∘
⋅
tan
40
∘
⋅
tan
80
∘
=
3
.
{\displaystyle \tan 20^{\circ }\cdot \tan 40^{\circ }\cdot \tan 80^{\circ }={\sqrt {3}}.}
Írjuk fel a kétszeres szög szinuszára vonatkozó azonosságot:
sin
(
2
α
)
=
2
sin
(
α
)
cos
(
α
)
.
{\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha ).}
Ebből fejezzük ki
cos
(
α
)
{\displaystyle \cos(\alpha )}
cos
(
α
)
=
sin
(
2
α
)
2
sin
(
α
)
.
{\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}.}
Innen következik, hogy:
cos
(
2
α
)
=
sin
(
4
α
)
2
sin
(
2
α
)
cos
(
4
α
)
=
sin
(
8
α
)
2
sin
(
4
α
)
⋮
cos
(
2
n
−
1
α
)
=
sin
(
2
n
α
)
2
sin
(
2
n
−
1
α
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\\[6pt]\cos(4\alpha )&={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\cos(2^{n-1}\alpha )&={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\sin(2^{n-1}\alpha )}}.\end{aligned}}}
Ezen kifejezéseket összeszorozva a következőt kapjuk:
cos
(
α
)
cos
(
2
α
)
cos
(
4
α
)
⋯
cos
(
2
n
−
1
α
)
=
sin
(
2
α
)
2
sin
(
α
)
⋅
sin
(
4
α
)
2
sin
(
2
α
)
⋅
sin
(
8
α
)
2
sin
(
4
α
)
⋯
sin
(
2
n
α
)
2
sin
(
2
n
−
1
α
)
.
{\displaystyle \cos(\alpha )\cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos(2^{n-1}\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\cdots {\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\sin(2^{n-1}\alpha )}}.}
Ez egy teleszkopikus szorzat , egyszerűsítés után azt kapjuk, hogy
∏
k
=
0
n
−
1
cos
(
2
k
α
)
=
sin
(
2
n
α
)
2
n
sin
(
α
)
,
{\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2^{n}\sin(\alpha )}},}
amely megegyezik a Morrie-tétel általánosításával.
Ez a szócikk részben vagy egészben a Morrie's law ezen változatának fordításán alapul.
↑ W. A. Beyer, J. D. Louck, and D. Zeilberger , A Generalization of a Curiosity that Feynman Remembered All His Life , Math. Mag. 69, 43–44, 1996.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\\[6pt]\cos(4\alpha )&={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\cos(2^{n-1}\alpha )&={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\sin(2^{n-1}\alpha )}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40baf820bfb46f3ce8606217bb6d1860bd7914eb)
