Markov-egyenlőtlenség (valószínűségszámítás)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A Markov-egyenlőtlenség a valószínűségszámításban becslést ad arra, hogy a valószínűségi változó kimenetele mekkora valószínűséggel halad meg egy megadott számot. Andrej Andrejevics Markov után nevezték el.

Állítás[szerkesztés]

Legyen valószínűségi mező, valós értékű valószínűségi változó, adott valós szám és monoton növő függvény. Továbbá értelmezési tartománya tartalmazza képhalmazát. Ekkor az általános Markov-egyenlőtlenség szerint

ami esetén írható úgy is, mint

Változatok[szerkesztés]

Legyen , ha , és legyen valós valószínűségi változók, ekkor esetén adódik a speciális eset:

Ezt a speciális esetet területek összehasonlításával lehet bizonyítani, és hasonló módon a Csebisev-egyenlőtlenség is bizonyítható.[1]

Legyen , ahol , akkor következik a -szeres túllépést becslő változat:

Legyen és alkalmazzuk a Markov-egyenlőtlenséget az valószínűségi változóra. Ekkor esetén a Csebisev-egyenlőtlenséghez jutunk:

Korlátos valószínűségi változó esetén Markov-szerű becslés adható arra, hogy a valószínűségi változó értéke a várható érték -szerese alatt marad. Legyenek és legyen valószínűségi változó úgy, hogy és . Ekkor minden esetén:

Ez a változat önállóan is bizonyítható, az eredeti Markov-egyenlőtlenséghez hasonlóan.[2]

Ha , akkor alkalmas paraméterrel nagyon jó becslést lehet nyerni, lásd Csernov-egyenlőtlenség. Sőt, megfelelő feltételek esetén ez a becslés optimális.

Bizonyítás[szerkesztés]

Legyen az halmaz indikátorfüggvénye. Ekkor

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. H. Wirths: Der Erwartungswert – Skizzen zur Begriffsentwicklung von Klasse 8 bis 13. In: Mathematik in der Schule 1995/Heft 6, S. 330–343.
  2. Piotr Indyk, Sublinear Time Algorithms for Metric Space Problems. Proceedings of the 31st Symposium on Theory of Computing (STOC'99), 428–434, 1999.

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Markow-Ungleichung (Stochastik) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.