Lineáris kongruenciák

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Lineáris kongruenciának nevezzük az formájú kongruenciákat, ahol és egész, pedig pozitív egész szám.

Ezen kongruencia megoldásai azon számok, melyre . Ha egy szám megoldás, akkor is az, ahol , hiszen . Ezek a megoldások maradékosztályokat alkotnak, a megoldó maradékosztályok számát tekintjük a megoldások számának (ha a konkrét egészeket tekintenénk, akkor végtelen sok lenne, amennyiben létezik megoldás).

Amikor ilyen kongruenciákat oldunk meg, akkor azokat az egészeket keressük, ami egy bizonyos számmal (modulus) osztva meghatározott maradékot ad. Ezek hasonlóak, mint az egyenletek, csupán itt a maradékra teszünk csak kikötést, így megoldó maradékosztályokról beszélhetünk. Minden egyes lineáris kongruencia egyben egy diofantoszi egyenlet is. Az kongruenciának megfelelő diofantoszi egyenlet a definícióból eredően: .

Tétel (megoldhatóság)[szerkesztés]

A kongruenciák és a diofantoszi egyenletek közti megfeleltetésnek köszönhetően az ott ismert megoldhatóságra vonatkozó szükséges és elégséges feltételre visszavezethetjük a kongruenciák megoldhatóságát:

megoldható (azaz és legnagyobb közös osztója osztja -t.)

Bizonyítás[szerkesztés]

diofantoszi egyenlet megoldható .

Tétel (megoldások száma)[szerkesztés]

Ha az kongruencia megoldható, akkor a megoldások száma . Legyen , és az egyik megoldása a kongruenciának.

Ekkor az összes (páronként inkongruens) megoldást képező maradékosztályok : .

Megjegyzés: Ha , akkor a kongruencia esetén megoldható és egyetlen maradékosztály a megoldása.

Bizonyítás[szerkesztés]

Tegyük fel, hogy megoldásai a kongruenciának. Ekkor és . Ez azzal ekvivalens, hogy . Ez tovább ekvivalens kongruenciával. Mivel egy másik megoldás, ezért minden megoldás alakú, és ezek ki is elégítik a kongruenciát.

Tekintsünk két megoldást: , . Megnézzük, mikor esik két megoldás ugyanabba a maradékosztályba: . Azaz két megoldás akkor esik ugyanabba a maradékosztályba , ha a két kongruens . Mivel a inkongruensek , és ki is adják az összes maradékosztályt, így ezen értéket behelyettesítve helyére megkapjuk az összes megoldó maradékosztályt.

Kongruenciarendszerek[szerkesztés]

Akárcsak az egyenleteknél, itt is beszélhetünk több kongruenciából álló kongruenciarendszerről. Ekkor egy olyan maradékosztályt keresünk, ami minden kongruenciát kielégít. A páronként relatív prím modulusú kongruenciarendszerek megoldásáról szól a kínai maradéktétel, mely kimondja hogy a megoldás létezik és egyértelmű.

Wilson-tétel[szerkesztés]

A Wilson-tétel azt mondja ki, hogy ha prímszám, akkor .

Forrás[szerkesztés]

  • Freud Róbert – Gyarmati Edit: Számelmélet. Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó. 2000. ISBN 9631907848