Lineáris kongruenciák

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Ezen kongruencia megoldásai azon számok, melyre . Ha egy szám megoldás, akkor is az, ahol , hiszen . Ezek a megoldások maradékosztályokat alkotnak, a megoldó maradékosztályok számát tekintjük a megoldások számának (ha a konkrét egészeket tekintenénk, akkor sok lenne ha létezik megoldás).

Amikor ilyen kongruenciákat oldunk meg, akkor azokat az egészeket keressük, ami egy bizonyos számmal (modulus) osztva meghatározott maradékot ad. Ezek hasonlóak mint az egyenletek, csupán itt a maradékra teszünk csak kikötést, így megoldó maradékosztályokról beszélhetünk. Minden egyes lineáris kongruencia egyben egy diofantoszi egyenlet is. A következőképp feleltetjük meg őket egymásnak:

kongruenciának megfelelő diofantoszi egyenlet a definícióból eredően: .

Tétel (Megoldhatóság)[szerkesztés]

A kongruenciák és a diofantoszi egyenletek közti megfeleltetésnek köszönhetően az ott ismert megoldhatóságra vonatkozó szükséges és elégséges feltételre visszavezethetjük a kongruenciák megoldhatóságát:
megoldható (azaz ha és legnagyobb közös osztója osztja -t.)

Bizonyítás[szerkesztés]

, hogy diofantoszi egyenlet megoldható .

Tétel (Megoldások száma)[szerkesztés]

Ha az kongruencia megoldható, akkor a megoldások száma . Legyen és az egyik megoldása a kongruenciának.

Ekkor az összes (páronként inkongruens) megoldást képező maradékosztályok : .

Megjegyzés: Ha , akkor a kongruencia esetén megoldható és egyetlen maradékosztály a megoldása.

Bizonyítás[szerkesztés]

Tegyük fel, hogy megoldásai a kongruenciának. Ekkor és . Ez azzal ekvivalens, hogy . A fentebb lévő (5) tétel alapján ez tovább ekvivalens kongruenciával.
Mivel egy másik megoldás, ezért minden megoldás alakú, és ezek ki is elégítik a kongruenciát.

Tekintsünk két megoldást: . Megnézzük, mikor esik két megoldás ugyanabba a maradékosztályba: .
Azaz két megoldás akkor esik ugyanabba a maradékosztályba ha a két kongruens . Mivel a inkongruensek , és ki is adják az összes maradékosztályt, így ezen d értéket behelyettesítve k helyére megkapjuk az összes megoldó maradékosztályt.

Kongruenciarendszerek[szerkesztés]

Akárcsak az egyenleteknél, itt is beszélhetünk több kongruenciából álló kongruenciarendszerről. Ekkor egy olyan maradékosztályt keresünk, ami minden kongruenciát kielégít. A páronként relatív prím modulusú kongruenciarendszerek megoldásáról szól a kínai maradéktétel, mely kimondja hogy a megoldás létezik és egyértelmű. Bővebben a megfelelő wiki oldalon, bizonyítással.

Wilson-tétel[szerkesztés]

A tétel a következőt mondja ki:
Ha p prímszám, akkor

.

A tétel a bizonyítása megtalálható a Wilson-tétel oldalon.

Lásd még[szerkesztés]

Forrás[szerkesztés]

  • Freud─Gyarmati: Számélmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000