Kis elemszámú véges csoportok listája

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematika csoportelmélet nevű ágában fontos szerepet játszanak a véges csoportok: azok a csoportok, amelyeknek véges sok eleme van. Az alábbi lista a 16-nál kisebb elemszámú csoportokat sorolja föl, elemszám szerint csoportosítva.

Jelölések[szerkesztés]

A csoportelméletben szokásos konvenciókat követve

  • 1 jelöli a csoport egységelemét
  • Tetszőleges pozitív egész n-re jelöli az n-edrendű ciklikus csoportot, azaz az n-edik komplex egységgyökök szorzáscsoportját.
  • Tetszőleges egész számra jelöli az n-edfokú diédercsoportot, azaz a szabályos n-szög szimmetriacsoportját.
  • Tetszőleges pozitív egész n-re jelöli az n-edfokú szimmetrikus csoportot, azaz n elem összes permutációjának csoportját, és jelöli az n-edfokú alternáló csoportot, azaz n elem páros permutációinak csoportját.
  • jelöli a Klein-csoportot; jelöli a kvaterniócsoportot.

Alapvető tények[szerkesztés]

A kis véges csoportok enumerációja során újra meg újra felhasználható az alábbi néhány egyszerű gondolatmenet:

Minden pozitív egész n-re van n elemű csoport[szerkesztés]

Tetszőleges n-re az n-edrendű ciklikus csoport, példa n elemű csoportra.

Ha p prímszám, akkor csak egy p elemű csoport van[szerkesztés]

Ha ugyanis p elemű csoport és és , akkor g rendje nem 1 de osztja p-t, ezért g rendje p. Így , azaz .

Kis elemszámú véges csoportok[szerkesztés]

Egyelemű csoport[szerkesztés]

Egyelemű csoport csak egy van, a triviális csoport.

Kételemű csoport[szerkesztés]

Mivel a 2 prímszám, az egyetlen kételemű csoport a .

Háromelemű csoport[szerkesztés]

Mivel a 3 prímszám, az egyetlen háromelemű csoport a .

Négyelemű csoport[szerkesztés]

Négyelemű csoportból kettő létezik: és a V Klein-csoport. Ezek nyilván különböznek, hiszen az elsőben van negyedrendű elem, a másodikban pedig nincs. Több négyelemű csoport nincs, hiszen ha négyelemű, akkor vagy van negyedrendű eleme, vagy nincs. Ha van, akkor az az elem generálja a csoportot, tehát a . Ha nincs, akkor mindhárom 1-től különböző eleme másodrendű, és így ezek közül bármelyik kettő szorzata a harmadik. Emiatt izomorf a Klein-csoporttal.

Ötelemű csoport[szerkesztés]

Mivel az 5 prímszám, az egyetlen ötelemű csoport a .

Hatelemű csoport[szerkesztés]

A hatelemű csoportok közt kézenfekvő módon szerepel a ciklikus csoport és az szimmetrikus csoport. Ezek különbözőek, hiszen az első kommutatív, a második pedig nem. Több hatelemű csoport nincsen.

Hételemű csoport[szerkesztés]

Mivel a 7 prímszám, az egyetlen hételemű csoport a .

Nyolcelemű csoport[szerkesztés]

A nyolcelemű csoportok között kézenfekvő módon szerepelnek a csoportok. Ezek egymástól különböznek: míg kommutatív, a másik kettő nem az; azt pedig, hogy a diédercsoport különbözik a kvaterniócsoporttól, onnan láthatjuk például, hogy a kvaterniócsoportban csak egy másodrendű elem van (a -1), míg a diédercsoportban van több is (minden tükrözés).

Kilencelemű csoport[szerkesztés]

Tízelemű csoport[szerkesztés]

Tizenegy elemű csoport[szerkesztés]

Mivel a 11 prímszám, az egyetlen tizenegy elemű csoport a .

Tizenkét elemű csoport[szerkesztés]

Tizenhárom elemű csoport[szerkesztés]

Mivel a 13 prímszám, az egyetlen tizenhárom elemű csoport a .

Tizennégy elemű csoport[szerkesztés]

Tizenöt elemű csoport[szerkesztés]

Források[szerkesztés]