Integrálszinusz

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A kardinálszinusz (kékkel) és integrálja az integrálszinusz (pirossal).

A matematikai analízisben az integrálszinusz függvény az úgynevezett kardinálszinusz függvény 0-ban eltűnő integrálfüggvénye, azaz a

\mathrm{si}(x)=\int\limits_{0}^{x}\cfrac{\sin(t)}{t}\;\mathrm{d}t

függvény. Neve a latin sinus integralis kifejezésből származik. Joseph Liouville hozta fel példaként arra, hogy léteznek olyan függvények, melyeknek integrálja nem fejezhető ki zárt alakban illetve a

f'(x)=\cfrac{\sin(x)}{x}

differenciálegyenlet nem integrálható kvadratúrával.

Előállítása végtelen sor formájában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ugyan az integrálszinusz nem fejezhető ki zárt alakban, azonban függvénysorként igen. Az integrálszinusz a 0 pont körül Taylor-sorba fejthető, és a 0-beli Taylor-sora előállítja a függvényt, így analitikus függvény. A sor konvergensen kiterjeszthető komplex számok körében, ami a komplex integrálszinuszt adja:

\mathrm{Si}(z) = z\!-\!\frac{z^3}{3\!\cdot\!3!}\!+\!\frac{z^5}{5\!\cdot\!5!}
\!-\!\frac{z^7}{7\!\cdot\!7!}\!+-\cdots=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!\cdot(2k+1)}z^{2k+1}

Ez annak a következménye, hogy kardinálszinusz egyenletesen konvergens sorösszeggel állítható elő:

\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{x}\sin(x)=\frac{1}{x}\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n}

A sor x=0-ban is konvergens és összege 1, így egyenletesen konvergens ezért a sorok integrálására vonatkozó tétel szerint:

\int\limits_{0}^{x}\frac{\sin t}{t}\;\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{x}\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}t^{2n}\;\mathrm{d}t=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\int\limits_{0}^{x}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}t^{2n}\;\mathrm{d}t=
=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.

Előállítása homogén lineáris differenciálegyenlet megoldásaként[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A függvény másik lehetséges definiálási módja, hogy az

xf'''(x)\!+\!2f''(x)\!+\!xf'(x) = 0

közönséges, harmadrendű, függvényegyütthatós, homogén lineáris differenciálegyenlet (egy) megoldása.

További tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szinusz integrálisz határértéke a végtelenben:

\lim_{x\to+\infty}\mathrm{si}(x) = \cfrac{\pi}{2}

s mivel páratlan függvény, ezért

\lim_{x\to-\infty}\mathrm{si}(x) = -\cfrac{\pi}{2}

illetve:

[\mathrm{si}]_{-\infty}^{+\infty}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\cfrac{\sin(t)}{t}\;\mathrm{d}t=\pi