A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A kardinálszinusz (kékkel) és integrálja, az integrálszinusz (pirossal) . A matematikai analízisben az integrálszinusz függvény az úgynevezett kardinálszinusz függvény 0-ban eltűnő integrálfüggvénye, azaz a
s
i
(
x
)
=
∫
0
x
sin
(
t
)
t
d
t
{\displaystyle \mathrm {si} (x)=\int \limits _{0}^{x}{\cfrac {\sin(t)}{t}}\;\mathrm {d} t}
függvény. Neve a latin sinus integralis kifejezésből származik. Joseph Liouville hozta fel példaként arra, hogy léteznek olyan függvények, melyeknek integrálja nem fejezhető ki zárt alakban, illetve a
f
′
(
x
)
=
sin
(
x
)
x
{\displaystyle f'(x)={\cfrac {\sin(x)}{x}}}
differenciálegyenlet nem integrálható kvadratúrával.
Ugyan az integrálszinusz nem fejezhető ki zárt alakban, azonban függvénysorként igen. Az integrálszinusz a 0 pont körül Taylor-sorba fejthető, és a 0-beli Taylor-sora előállítja a függvényt, így analitikus függvény. A sor konvergensen kiterjeszthető komplex számok körében, ami a komplex integrálszinuszt adja:
S
i
(
z
)
=
z
−
z
3
3
⋅
3
!
+
z
5
5
⋅
5
!
−
z
7
7
⋅
7
!
+
−
⋯
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
2
k
+
1
)
!
⋅
(
2
k
+
1
)
z
2
k
+
1
{\displaystyle \mathrm {Si} (z)=z\!-\!{\frac {z^{3}}{3\!\cdot \!3!}}\!+\!{\frac {z^{5}}{5\!\cdot \!5!}}\!-\!{\frac {z^{7}}{7\!\cdot \!7!}}\!+-\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!\cdot (2k+1)}}z^{2k+1}}
Ez annak a következménye, hogy kardinálszinusz egyenletesen konvergens sorösszeggel állítható elő:
sin
x
x
=
1
x
sin
(
x
)
=
1
x
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}={\frac {1}{x}}\sin(x)={\frac {1}{x}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n}}
A sor x = 0-ban is konvergens, és összege 1, így egyenletesen konvergens , ezért a sorok integrálására vonatkozó tétel szerint:
∫
0
x
sin
t
t
d
t
=
∫
0
x
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
t
2
n
d
t
=
∑
n
=
0
∞
∫
0
x
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
t
2
n
d
t
=
{\displaystyle \int \limits _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\;\mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{x}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}t^{2n}\;\mathrm {d} t=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\int \limits _{0}^{x}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}t^{2n}\;\mathrm {d} t=}
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
2
n
+
1
.
{\displaystyle =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}.}
[ szerkesztés ] A függvény másik lehetséges definiálási módja, hogy az
x
f
‴
(
x
)
+
2
f
″
(
x
)
+
x
f
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle xf'''(x)\!+\!2f''(x)\!+\!xf'(x)=0}
közönséges, harmadrendű, függvényegyütthatós, homogén lineáris differenciálegyenlet (egy) megoldása.
A szinusz integrálisz határértéke a végtelenben:
lim
x
→
+
∞
s
i
(
x
)
=
π
2
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\mathrm {si} (x)={\cfrac {\pi }{2}}}
s mivel páratlan függvény , ezért
lim
x
→
−
∞
s
i
(
x
)
=
−
π
2
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\mathrm {si} (x)=-{\cfrac {\pi }{2}}}
illetve:
[
s
i
]
−
∞
+
∞
=
∫
−
∞
+
∞
sin
(
t
)
t
d
t
=
π
{\displaystyle [\mathrm {si} ]_{-\infty }^{+\infty }=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\cfrac {\sin(t)}{t}}\;\mathrm {d} t=\pi }
.png)
![{\displaystyle [\mathrm {si} ]_{-\infty }^{+\infty }=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\cfrac {\sin(t)}{t}}\;\mathrm {d} t=\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa42ca94c5af1f4bc13202939dac679d1cdb2590)