Induktív dimenzió

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az induktív dimenzió a topológiában használatos dimenziófogalmak egyike, amely egy alakzat dimenzióját teljes indukcióval definiálja azt kihasználva, hogy egy test határa általában eggyel kisebb dimenziójú, mint maga a test. Attól függően, pontosan hogyan definiáljuk az eljárást, két némileg különböző fogalomhoz jutunk: a kis induktív dimenzióhoz (ind(X)) illetve a nagy induktív dimenzióhoz (Ind(X)).

Definíció[szerkesztés]

Kis induktív dimenzió[szerkesztés]

Az topologikus tér kis induktív dimenziója így definiálható:

  • , ha minden pontra és minden nyílt környezetéhez van -nek nyílt környezete, hogy , és .
  • , ha és nem
  • , ha nincs , amire az egyenlőtlenség fennáll.

Nagy induktív dimenzió[szerkesztés]

Ha a kis induktív dimenzió definíciójában az pontot egy tetszőleges zárt halmazzal helyettesítjük, akkor a nagy induktív dimenzió fogalmához jutunk. Pontosabban: az topolgikus tér nagy induktív dimenziója így definiálható:

  • , ha minden halmazhoz, és minden környezetéhez van -nak egy nyílt környezete, hogy és .
  • , ha és nem
  • , ha nincs , amire az egyenlőtlenség teljesül.

Megfigyelések[szerkesztés]

  • Az állítás formálisan így írható fel: minden pontnak van olyan környezetbázisa, ami kis induktív dimenziós határú zárt halmazokból áll. Mivel minden pontnak kell, hogy zárt környezetekből álló környezetbázisa van, ezért a fogalomnak csak reguláris terekben van értelme.
  • Az állítás így formalizálható: minden diszjunkt zárt halmaznak van és nyílt környezete, hogy , és . Mivel ez az állítás felteszi, hogy teljesül az elválasztási axióma, ezért a fogalomnak csak normális terekben van értelme.
  • Míg a kis induktív dimenzió a tér pontjaira is értelmes, addig a nagy induktív dimenzió csak az egész térre vonatkoztatható, a pontokra nem.

Tételek[szerkesztés]

Egyenlőtlenségek[szerkesztés]

Ha metrikus tér, akkor M. Katětov tétele szerint

.

P. S. Alexandrov egy tétele miatt a kompakt Hausdorff-tereken:

.

Szeparábilis (megszámlálható bázisú) metrikus terekre egyenlőség áll fenn:

.

K. Nagami konstruált egy normális teret, amire , és .

Kompaktifikáció[szerkesztés]

Jelölje azt a legbővebb kompakt Hausdorff-teret, ami -et sűrű altérként tartalmazza (Stone-Čech-kompaktifikáció). Ekkor

  • N. Wendenisow: Ha normális, akkor .
  • J. R. Isbell: Ha normális, akkor .
  • A kis indukcióra nem teljesülnek a fentiekkel analóg állítások.

Részhalmaztétel[szerkesztés]

és teljesítik a teljes metrikus terek részhalmaztételét:

  • Ha teljes normális tér, és , akkor , és .

Összegtétel[szerkesztés]

Ind eleget tesz a teljes normális terek összegtételének:

  • C. H. Dowker: Ha teljes normális tér, és zárt halmazok sorozata, hogy , akkor .
  • Nem teljes normális terekre a tétel állítása nem teljesül sem a kis, sem a nagy induktív dimenzióra, még a kompakt Hausdorff-terekre sem.

Szorzattétel[szerkesztés]

Akkor mondjuk, hogy egy dimenziófogalom eleget tesz a szorzattételnek, ha két tér szorzatterének dimenziója becsülhető a tényezők dimenzióinak összegével:

.

  • Ha és nem üres reguláris Hausdorf-tér, akkor .
  • Egy normális tér perfekt, ha bármely két disjunkten diszjunkt zárt halmazhoz van egy folytonos függvény, hogy és .

Ha perfekt normális tér, metrizálható és egyik sem üres, akkor .

  • A dimenzióra hasonlóak igazak: ha és is metrizálható, vagy ha parakompakt, és kompakt.

Forrás[szerkesztés]

  • Keiô Nagami: Dimension Theory, Academic Press (1970)