Helyiérték

Helyi értéknek nevezzük egy szám leírásakor a felhasznált számjegy helye által képviselt valós számértéket. Ez függ az írásrendszer alapjául szolgáló számtól és a jegy helyétől. Sokszor helyi értéknek nevezik a szám valódi értékét, azaz az saját értékének és a helyhez tartozó érték szorzatát is. Ez látszólag kétértelművé teszi a kifejezést, azonban a szövegkörnyezetből rendszerint egyértelműen kiderül, melyik értelmezésről van szó.

Definíció

Helyiértékes írásmódnak nevezzük a szám alábbi alakját:

$v={\overline {n_{k}n_{k-1}\ldots n_{2}n_{1}n_{0}}}.$

Ennek a felírásnak a kifejtése valamely g alapú számrendszerben:

$v=\sum _{i=0}^{k}n_{i}g^{i}.$

Eme összeg egyes tagjai együtthatójának értékét nevezzük az n_i jegy helyiértékének.

A helyiértékes írásmód természetesen kiterjeszthető a valós számokra is. Ebben az esetben az összegben negatív kitevőjű tényezők, így 1-nél nem nagyobb helyi értékek is szerepelnek.

A hétköznapokban a g=10 választással élünk (tízes számrendszer), de egyes területeken ettől eltérhetünk. Például az időszámítás esetén g=60, a számítástechnikában g=2, g=8 vagy g=16. Ezek a g értékeke egyben a számrendszerek alapszámai is.

Történet

Eredetileg az ember a számokat, mint mennyiségeket megfelelő számú jel lejegyzésével írta. Ez értelemszerűen csak nem túl nagy számok esetén hatékony eljárás. A sumerek ezt a rendszert annyiban módosították, hogy tíz jel együttesét új jellel jelölték, így némileg könnyebbé vált a számok kiolvasása.

A sumer elgondolást az ókori Egyiptomban továbbfejlesztették olyan formában, hogy a tízes csoportokat egy nagyobb egységbe tízesével foglalták össze, és erre egy újabb jelet alkalmaztak. Ez már magában foglalja a helyi értékes írásmód csíráit is. Igazán jelentős lépés a Sumer Birodalomban történt, amikor a nagyobb egységnek nem alkalmaztak külön jeleket, hanem leírták, hogy egy nagyobb csoport van, azaz az 1 jelét írták le újfentebb. Azonban ez konfúzzá válhatott, ha a szövegkörnyezet nélkül hivatkoztunk az adott számra, mert nem tudhattuk, hogy az adott 1-nek valójában mennyi az értelme.

A probléma megoldása az üres hely jelölése lett, ezt a sumerek az íróvessző tompa végének agyagba nyomásával végezték el. Ezt a jelölést valószínűleg Nagy Sándor hódítási révén ismerték meg Indiában, ahol ebből a 0 kialakult. Ezzel tulajdonképpen a helyi értékes írásmód elől minden akadály elhárult.

Példa

Egy leírt számban egy számjegyhez három érték tartozik: az alaki érték, azaz a jegy saját értéke, a helyi érték, ami a jegy számban elfoglalt helyétől függ, és a valódi érték, ez pedig a kettejük szorzata.

Egész szám esetén

A 348 számban a jegyek megfelelő értékei:

Számjegy	Alaki érték	Helyi érték	Valódi érték
3	3	102=100	3·100=300
4	4	101=10	4·10=40
8	8	100=1	8·1=8

A szám értékét a valódi értékek összege adja meg: 300+40+8=348.

Tizedestört esetén

A 28,42 számban az egyes értékek:

Számjegy	Alaki érték	Helyi érték	Valódi érték
2	2	101=10	2·10=20
8	8	100=1	8·1=8
4	4	10-1=0,1	4·0,1=0,4
2	2	10-2=0,01	2·0,01=0,02

Látható, hogy a két 2 számjegy által képviselt valós érték nagyban függ a számban elfoglalt helyétől.

Más számrendszer esetén

Vizsgáljuk a 6524₈ számot!

Számjegy	Alaki érték	Helyi érték		Valódi érték
6	6	83=512	6·512=3072
5	5	82=64	5·64=320
2	2	81=8	2·8=16
4	4	80=1	4·1=4

Látható, hogy a helyi értékek eltérnek a megszokottaktól, de persze 8-as számrendszerben ezek pont az 100₈, 10₈, stb. alakot öltik. Ez egyben a számrendszerek közötti átváltásokat is bemutatja.

Források

• Dr. Szendrei János. Algebra és számelmélet. Nemzedékek tudása tankönyvkiadó (2001). ISBN 9789631924015 
• I. N. Bronstejn, K. A. Szemengyajev, G. Musiol, H. Mühlig. Matematikai kézikönyv. Typotex (2006). ISBN 9789639326538