Hardy-egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Hardy-egyenlőtlenség diszkrét formája azt mondja ki, hogy ha nemnegatív valósokból álló sorozat és , akkor

teljesül, ahol . A szereplő konstans pontos.

Összefoglalva, nagyjából arról van szó, hogy egy sorozat hatványösszege (1-nél nagyobb valós kitevő esetén) mindig legalább akkora, mint a sorozat átlagainak hatványösszegének egy konstansszorosa (mely konstans csak a kitevőtől függ).

A Hardy-egyenlőtlenség folytonos, integrálos változata:

minden olyan f(x) integrálható függvényre, ami sehol sem negatív, és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha f(x) = 0 majdnem mindenütt.

Az egyenlőtlenség először 1920-ban jelent meg Hardy jegyzetében, bizonyítás nélkül.[1] Az eredeti megfogalmazás az integrálos egyenlőtlenség egy másik alakja volt. Az egyenlőtlenség bizonyítható a Hardy-Littlewood maximálfüggvénnyel és a maximálfüggvények elméletének felhasználásával.

Magasabb dimenzióban az egyenlőtlenség szintén teljesül, de ott a konstans szorzó p-n kívül a tartománytól is függ. Konvex tartományokra például vehető 1/4-nek, de vannak sima tartományok, amikre ez a szám kisebb. Sőt, vannak tartományok, amikre ez a szorzó nem pozitív. A tételnek van súlyozott, és nem korlátos tartományra általánosított változata is.

Az egyenlőtlenséget alkalmazzák a Markov-folyamatok, és az Lp-terek elméletében.

Források[szerkesztés]

  1. Hardy, G.H., Note on a Theorem of Hilbert, Math. Z. 6 (1920), 314–317.
  • Hardy, G. H., Littlewood. J.E.; Pólya, G.. Inequalities, 2nd ed. Cambridge University Press (1952. július 2.). ISBN 0521358809 

További információk[szerkesztés]