Szferoid

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Forgási ellipszoid szócikkből átirányítva)
Jump to navigation Jump to search
Lencseszferoid
Orsószferoid

A szferoid vagy más néven forgási ellipszoid vagy kéttengelyű ellipszoid egy mértani test, amelyet akkor kapunk, ha egy ellipszist valamelyik tengelye mentén megpörgetünk. A szferoid speciális esete az ellipszoidnak, amikor az ellipszoid három tengelye közül kettő egyforma hosszúságú.

Amennyiben az ellipszist a rövidebb tengelye körül pörgetjük meg, lapos ún. lencseszferoidot kapunk. Ha viszont a hosszabbik tengelye körül forgatjuk meg az ellipszist, hosszúkás, ún. orsószferoidot kapunk.

A gömb pedig a szferoid speciális esete, amikor a megpörgetett ellipszis kör, vagy másképpen az ellipszoid mindhárom tengelye egyforma hosszú.

Matematikai alakja[szerkesztés]

Mivel az ellipszoid egyenletében szereplő három tengely közül kettő egyforma, a szferoid egyenlete is leegyszerűsödik az alábbi formára:

ahol X,Y és Z a térbeli koordináták, a és b pedig a megpörgetett ellipszis fél kis-, illetve fél nagytengelye attól függően, hogy az ellipszist a kis- vagy a nagytengelye mentén pörgettük meg.

Térfogata[szerkesztés]

Jelölje a a nagytengelyt, és b a kistengelyt.

Ekkor az orsószferoid térfogata

és a lencseszferoidé

Felszíne[szerkesztés]

Legyen ismét a a nagytengely, és b a kistengely.

Ekkor az orsószferoid felszíne

,

és a lencseszferoidé

.

Gyakorlati jelentősége[szerkesztés]

A forgási orsószferoid kézenfekvő példái a boroshordók - ha egy ilyen szferoidot végeinél szimmetrikusan, a forgástengelyre merőlegesen csonkolunk, hordó alakot kapunk.

A szferoidnak a geometriai fontosságán túlmenően szerepe van a Föld, illetve más, gyorsan forgó égitestek alakjának (például Jupiter, Szaturnusz) meghatározásában.

Tekintve, hogy kis eltérések azért vannak a Föld tényleges alakja és bármely erre illeszkedő szferoid között, geodéziai feladat az adott területre vagy problématípusra kiszámolni a legjobban illeszkedő szferoidot. A Föld esetében a Föld matematikai alakját, a geoidot globálisan igen jól lehet közelíteni egy szferoiddal, az eltérés a legjobban illeszkedő szferoid és a geoid között nem haladja meg a 150 métert. (Az eltérést magát geoidundulációnak nevezzük.)

A térképészetben azonban nemcsak globálisan illeszkedő szferoidokat használnak, hanem a térképezendő területre még jobban illeszkedő, a globálistól eltérő paraméterekkel és térbeli elhelyezéssel bíró forgási ellipszoidokat.

Ennek megfelelően az egyes országok különféle szferoidokat használnak térképi/geodéziai alapnak. Magyarország a múlt századi háromszögelési hálózatai alapjául a Bessel-féle ellipszoidot, a második világháború utáni háromszögeléshez a Kraszovszkij-féle ellipszoidot alkalmazta. Az Egységes Országos Vetületi rendszer EOV létrehozásakor alapfelületként a Nemzetközi Geodéziai és Geofizikai Unió 1967. évi Geodéziai Vonatkozási Rendszerét (Geodetic Reference System), az IUGG GRS 1967 ellipszoidot választották alapnak. A GPS (Global Positioning System) a geocentrikus WGS 84 (WGS: World Geodetic System) ellipszoidot használja.

A felszínformulák levezetése[szerkesztés]

Legyen az a nagytengelyű és b kistengelyű ellipszoid egyenlete.

Orsószferoid[szerkesztés]

Az első Guldin-szabállyal

Ez annak a forgástestnek a felszíne, ami az ellipszis x tengely körüli forgatásával keletkezik. Itt a generátorgörbe egyenlete , ami az ellipszoid egyenletét y-ra megoldva adódik.

Továbbá szükség van a jobb oldal x szerinti deriváltjára:

Behelyettesítve

Itt kihasználtuk az x tengely körüli forgásszimmetriát.

Az integrál határainak figyelembevételével

Ennek egyszerűsítésével adódik a fenti képlet.

Lencseszferoid[szerkesztés]

A számítások az előzőekhez hasonlók.

Most az ellipszist az y tengely körül forgatjuk meg.

Ismét az első Guldin-szabályt használjuk:

Az ellipszis egyenletét x-re megoldva

és behelyettesítve az és értékeket kapjuk a következőt:

ahol újra kihasználtuk az ellipszoid forgásszimmetriáját.

További helyettesítésekkel és átalakításokkal adódik

amit egyszerűsítve kapjuk a fenti képletet.

Lásd még[szerkesztés]