Fürstenberg-topológia

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Fürstenberg-topológia egy Hillél Fürstenberg által 1955-ben konstruált topológia az egész számok halmazán. A konstrukció gyakorlati jelentősége csekély; inkább azért említésre méltó, mert segítségével topológiai eszközökkel bizonyítható, hogy végtelen sok prímszám létezik. A prímszámok halmazának végtelensége már Eukleidész előtt is ismert volt, ő azonban kézenfekvő módon, algebrai-számelméleti eszközökkel bizonyította az állítást. Jóval később, a 19. században a prímszámtétel egyszerű következményeként a matematikai analízis eszközeit felhasználó bizonyítás is született. Azonban a számelmélet és a topológia a matematikának egymástól távol eső ágai, így váratlan, meglepő és érdekes tény, hogy egy alapvető számelméleti tényt topológiai eszközökkel is igazolni lehet.

Definíció[szerkesztés]

Tetszőleges egész számra jelölje az számtani sorozatot. A Fürstenberg-topológiában nyíltnak nevezünk egy halmazt, ha minden számra létezik olyan , hogy . Az üres halmaz és maga így nyíltak, két nyílt halmaz metszete maga is nyílt és nyíltak uniója szintén nyílt, ezért a nyíltnak definiált halmazok valóban topológiát alkotnak. A Fürstenberg-topológia tehát az egész számokból álló, mindkét irányban végtelen számtani sorozatok által generált topológia elemein.

Tulajdonságai[szerkesztés]

A Fürstenberg-topológiában minden nemüres nyílt halmaz végtelen. Egy véges halmaz komplementere tehát nem lehet zárt.

,

tehát előáll egy nyílt halmaz komplementereként, így egyben zárt is.

A prímszámok végtelensége[szerkesztés]

Jelölje a prímszámok halmazát. Tetszőleges -re éppen a többszöröseiből álló halmaz. Mivel az -en és a -en kívül minden egész szám előáll egy prím többszöröseként,

Ha véges sok prímszám volna, akkor a jobb oldalon zárt halmazok véges uniója állna, amely így maga is zárt volna. De ez nem lehetséges, mert a bal oldalon egy véges halmaz komplementere áll, amely így nem zárt. Tehát végtelen sok prímszám van.

Források[szerkesztés]

  • H. Fürstenberg (1955.). „On the infinitude of primes”. American Mathematical Monthly 62 (353).