Elsőderivált-próba

Az f függvény f ' deriváltjának előjelváltása a lokális szélsőértékeket mutatja.

A matematikai analízisben az első deriváltra vonatkozó próba arra fogalmaz meg elégséges kritériumot, hogy egy nyílt intervallumon differenciálható függvénynek a derivált zérushelyén lokális szélsőértéke legyen (lokális maximum vagy minimuma).

A próba a következő. Legyen f differenciálható, u az értelmezési tartományának egy belső pontja és $f'(u)=0$ . Ekkor,

ha $f'$ $f'$ az u bal oldalán is állandó előjelű és a jobb oldalán is állandó előjelű, de u-ban előjelet vált, akkor u-ban f-nek lokális szélsőértéke van
- ha $f'$ az u-ban negatívból pozitívba vált előjelet, akkor f-nek az u-ban lokális minimuma van;
- ha $f'$ az u-ban pozitívból negatívba vált előjelet, akkor f-nek az u-ban lokális maximuma van;
ha $f'$ u körül előjeltartó, akkor a függvénynek u-ban biztosan nincs semmilyen szélsőértéke;
ha $f'$ előjele váltakozik az u bármilyen kis egyoldali környezetében, akkor a próba nem jár sikerrel (további vizsgálatokat igényel annak az eldöntése, hogy u-ban szélsőérték van-e).

A tétel

Legyen f : $I$ $\rightarrow$ R intervallumon differenciálható függvény, u az $I$ egy belső pontja. Ha létezik olyan (u-r,u+r) intervallum az $I$ -ben, hogy

$f'\,$ az ( u - r , u )-n mindenütt pozitív és $f'\,$ az ( u , u + r )-en mindenütt negatív akkor f-nek u-ban lokális maximuma van és
$f'\,$ az ( u - r , u )-n mindenütt negatív és $f'\,$ az ( u , u + r )-en mindenütt pozitív, akkor f-nek u-ban lokális minimuma van.

(Ekkor természetesen $f'(u)=0$ .)

Megjegyzés: A pozitív kitétel lecserélhető nemnegatívra, a negatív pedig nempozitívra.

Folytonos függvényre

Megjegyezzük, hogy a tételt olyan esetre is meg lehet fogalmazni, amikor f-ről az u-ban csak annyit teszünk fel, hogy folytonos. Legyen f: R $\rightarrow$ R az u pont egy ( u-r , u+r ) \ {u} kipontozott környezetén differenciálható függvény és folytonos u-ban.

Ha $f'|_{(u-r,u)}\geq 0\,$ és $f'|_{(u,u+r)}\leq 0\,$ akkor f-nek u-ban lokális maximuma van és
Ha $f'|_{(u-r,u)}\leq 0\,$ és $f'|_{(u,u+r)}\geq 0\,$ akkor f-nek u-ban lokális minimuma van.

A negatív állítás esete

f (x)=x³ és deriváltja. A derivált a 0-tól balra és jobbra is pozitív, így szigorúan monoton növekvő. A függvénynek tehát nem lehet szélsőértéke, holott a 0-beli derivált 0.

Az, hogy a derivált egy belső pontban 0, nem elég ahhoz, hogy a függvénynek ott lokális szélsőértéke legyen. A szélsőértékre vonatkozó Fermat-tétel csak szükséges, de nem elégséges kritériuma a belső pontban differenciálható függvény szélsőértékének. A nem elégségességet igazoló példa a valós számok halmazán értelmezett

x\mapsto x^{3}

függvény, amelynek a 0-ban 0 meredekségű, úgy nevezett inflexiós érintője van – átmetszi a függvénygörbét –, de nincs szélsőértéke, lévén szigorúan monoton növekvő.

A példa esetét jól leírja az a szituáció, amikor az u előtt és az u után a derivált (természetesen az u-t kivéve) szigorúan előjeltartó. Ezekben az esetekben biztosan nincs a függvénynek u-ban szélsőértéke.

Tehát, ha $f'|_{(u-r,u)},\;f'|_{(u,u+r)}>0\,$ vagy $f'|_{(u-r,u)},\;f'|_{(u,u+r)}<0\,$ , akkor ezeken az intervallumokon a függvény szigorúan monoton, s mivel u-ban folytonos, ezért az egész (u-r,u+r) intervallumon is szigorúan monoton, következésképpen nem lehet u-ban szélsőérték.

Itt a szigorú egyenlőtlenség nem cserélhető le megengedőre.

Az alkalmazhatóság feltételei és korlátai

f(x)=x²sin(1/x), f(0)=0. A példa mutatja, hogy nem elég, hogy a függvény egy-egy pontban balról és jobbról ellenkező előjelű deriváltakkal rendelkezik. A deriváltnak egy egész bal oldali intervallumban kell ugyanolyannak lennie és különböznie egy egész jobb oldali intervallumbeli előjeltől.

Nem hagyható el az a feltétel sem, hogy legyen az u-tól jobbra olyan intervallum, ahol a függvény deriváltja állandó előjelű és legyen balra is egy olyan intervallum, ahol mindenhol ugyanolyan előjelű, továbbá ebben a két intervallumban a derivált előjele eltér. Világos, ugyanis, hogy nem elég az, hogy akármilyen közel megyünk az u-hoz, balra és jobbra van egy-egy pont, amelyekben ellenkező előjelű a derivált. Például az

f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{2}\,\sin \left({\frac {1}{x}}\right),&x\neq 0\\0,&x=0\end{matrix}}\right.

differenciálható, az előbb mondott tulajdonságú, de 0-ban nincs szélsőértéke (holott 0-ban még a deriváltja is 0).

A próba nem is alkalmas minden nyílt intervallumban differenciálható függvény szélsőértékének kimutatására. Bár a következő függvénynek a 0-ban minimuma van, ennek igazolására a próba nem alkalmazható, mert nincs a 0 körül olyan bal és jobb oldali környezet, ahol a függvény deriváltja azonos előjelű lenne (és a 0-ban előjelet váltana): $f(x)=\left\{{\begin{matrix}2x^{2}\,(\sin \left({\frac {1}{x}}\right)+1)+x^{2},&x\neq 0\\0,&x=0\end{matrix}}\right.$

A tétel tulajdonképpen olyan függvényre is megfogalmazható lenne – plusz feltételekkel –, amelyik nem folytonos a vizsgált pontban, de létezik bal és jobb oldali határértéke. Ám, a hozzáadott feltételek gyakorlatilag annak a megismétlését jelentenék, hogy ott a függvénynek lokális szélsőértéke van, így semmit sem nyernénk vele.

Bizonyítás

Csak a folytonos függvény esetére vonatkozó, lokális maximumról beszélő esetet bizonyítjuk (a másik eset ebből a –f függvényre való alkalmazással következik.)

Azt kell belátnunk, hogy ha (a,b) nyílt intervallum,

f:(a,b)\rightarrow \mathbb {R}

folytonos,

u\in (a,b)\,

,

f|_{(a,u)}\,

és

f|_{(u,b)}\,

differenciálható és

f'|_{(a,u)}\geq 0\,

és

f'|_{(u,b)}\leq 0\,

Ekkor u-ban f-nek lokális maximuma van.

Legyen x ∈ ( a , u ). A Lagrange-féle középértéktételt alkalmazhatjuk az f|_[x,u] leszűkítésre, hiszen a függvény folytonos és az (x,u) nyílt intervallumon differenciálható. Minden deriváltértékre, így a Lagrange-tétel által biztosított x₁ ∈ (x,u) pontbeli deriváltra is teljesül, hogy az nemnegatív:

f'(x_{1})={\frac {f(x)-f(u)}{x-u}}\geq 0

innen az x – u negatív számmal beszorozva, kapjuk:

f(x)\leq f(u)

vagyis f|_(a,u]-nak u lokális maximuma. Hasonlóképpen kapjuk, hogy f|_[u,b)-nek u szintén lokális maximuma, így minden x ∈ (a,b)-re f(x) ≤ f(u). QED

Példák

1. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett

f(x)={\frac {(1+x)^{2}}{1+x^{2}}}

függvényt. f nyílt intervallumon differenciálható, tehát a lokális szélsőértékhelyek a szélsőértékre vonatkozó Fermat-tétel szerint a derivált nullhelyei között keresendők:

f'(x)={\frac {2(1+x)(1+x^{2})-(1+x)^{2}2x}{(1+x^{2})^{2}}}={\frac {(1+x)(2(1+x^{2})-2x(1+x))}{(1+x^{2})^{2}}}=

={\frac {2(1+x)(1-x)}{(1+x^{2})^{2}}}

így

{\frac {2(1+x)(1-x)}{(1+x^{2})^{2}}}=0

ahonnan x₁ = -1 és x₂ = +1. f' előjelét kell tehát megállapítani a (-∞,-1), (-1,+1) és (+1,+∞) intervallumokban. A derivált számlálója a 2(1+x)(1-x) felülről nyitott parabola, ami a fenti intervallumokban rendre +, -, + előjelű. A nevező pozitív, így nem változtat ezeken az előjeleken. A függvény tehát először szigorúan monoton nő, aztán szigorúan monoton csökken, végül megint szigorúan monoton módon nő. Ebből azonnal következik, hogy -1-ben valóban lokális szélsőérték van, éspedig lokális maximum, hiszen a derivált +ból –ba vált előjelet, a +1-ben pedig lokális minimum van.

x	]–∞;–1[	–1	]–1;+1[	1	]+1;+∞[
f'(x)	+	0	–	0	+
f(x)	↗	max	↘	min	↗

2. Vizsgáljuk a valós számok halmazán értelmezett

f(x)=e^{x}\cdot |x|

függvényt. Világos, hogy f nem differenciálható az x=0 pontban, de ott folytonos, világos, hogy erre a pontra a Fermat-féle szélsőértéktétel nem alkalmazható. A függvény deriváltja (az R \ {0} halmazon):

f'(x)=e^{x}\cdot |x|+e^{x}\cdot \mathrm {sgn} (x)

(x\neq 0)\,

ahol sgn(x) a szignum- vagy előjelfüggvény, ami az abszolútérték függvény deriváltja minden nullától különböző helyen. Megjegyezzük, bár nem szükséges a feladat megoldásához, hogy nullában balról és jobbról azonban már léteznek az egyoldali deriváltak f_-'(0) = –1 és f₊'(0) = +1.

Az

f'(x)=e^{x}\cdot (|x|+\mathrm {sgn} (x))\quad \quad (x\neq 0)\,

függvény azonos előjelű tartományait kell meghatározni. e^x mindig pozitív, |x|+sgn(x) = 0 pedig két esetben lehet: x=–1 vagy x=0 (persze ez utóbbiban f' nem értelmezett). Az előjeleket és a növekedési viszonyokat az alábbi táblázatban foglaltuk össze:

x	]–∞;–1[	–1	]–1;0[	0	]0;+∞[
f '(x)	+	0	–	nincs	+
f(x)	↗	max	↘	min	↗

Magasabbrendű deriváltak

Bővebben: másodikderivált-próba

A 2. példából látható, hogy az elsőderivált-próba akkor is használható, ha a függvény nem sima, például nem differenciálható az adott pontban (de folytonos). A próba azonban egy globális feltétel ellenőrzését igényli, azaz, hogy balról és jobbról legyen egy-egy teljes intervallum, ahol a derivált létezik és intervallumonként egyenlő előjelű.

A sima függvényeknél a globális feltételek lokálissá tehetők. Például, ha tudjuk, hogy az intervallumon értelmezett differenciálható függvény folytonosan differenciálható az intervallum u belső pontjában és f deriváltja az u-ban nulla, és a derivált injektív az u egy környezetében, akkor teljesülnek az elsőderivált-próba feltételei.

Ha az intervallumon értelmezett differenciálható függvény kétszer folytonosan differenciálható az u egy környezetén és a második derivált nem nulla u-ban, akkor már az inverzfüggvény-tétel is biztosítja az elsőderivált próba feltételeinek teljesülését.

A másodikderivált-próba már egy tisztán lokális feltételt tartalmaz. Ha az intervallumon differenciálható függvény kétszer differenciálható az intervallum egy u belső pontjában és f második deriváltja nem nulla, akkor a derivált lokálisan monoton. Ez amiatt van, hogy ekkor létezik olyan V nyílt környezete u-nak, hogy