Dandelin-gömb

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ellipszis Dandelin-gömbjei

A geometriában egy kúp síkmetszésével szerkesztett, nem degenerált kúpszelethez egy vagy két Dandelin-gömb rendelhető, mely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

Minden Dandelin-gömb érinti, de nem hatja át a síkot és a kúpot.

Ezeket a gömböket Germinal Pierre Dandelin tiszteletére nevezték el.

Minden kúpszeletnek mindegyik fókuszához egy-egy Dandelin-gömb tartozik.

  • Az ellipszisnek két Dandelin-gömbje van, ezek ugyanazt a félkúpot érintik.
  • A hiperbolának két Dandelin-gömbje van, egyik az egyik, másik a másik félkúpot érinti.
  • A parabolának csak egy Dandelin-gömbje van.

Dandelin tétele[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Dandelin-gömb a következő tétel miatt tart számot érdeklődésre:

Ahol a Dandelin-gömb érinti a síkot, az a pont a kúpszelet fókusza.

A Dandelin tétel bizonyítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tekintsük az ábrát, ahol egy sík egy kúpból ellipszist metsz ki. Az ábrán feltüntettük a két Dandelin-gömböt. Mindkét gömb egy-egy körben érinti a kúpot. Mindkét gömb a síkot egy-egy pontban érinti. Nevezzük ezeket a pontokat F_1 \,-nek és F_2 \,-nek. Legyen P \, az ellipszis egy tetszőleges pontja. Meg kell mutatnunk, hogy az \overline{F_1 P} + \overline{F_2 P} távolság állandó marad, ha a P \, pont tetszőleges helyzetet foglal el az ellipszis mentén. A P \, ponton és a kúp csúcspontján át húzott egyenes a két kört a G_1 \, és G_2 \, pontban metszi. Ahogy a P \, pontot elmozdítjuk az ellipszis mentén, a G_1 \, és G_2 \, pont is ennek megfelelően elmozdul a körök kerületén. Az \overline{F_i P}\, távolság és a \overline{G_i P}\, távolság egyenlő, mivel mindkettő ugyanabból a pontból ugyanahhoz a gömbhöz húzott érintő. Következésképpen az \overline{F_1 P} + \overline{F_2 P} távolságnak állandónak kell maradnia, ahogy a P \, pont a görbe mentén elmozdul, mivel a \overline{G_1 P} + \overline{G_2 P} távolság is állandó marad.

Hasonló levezetéseket lehet végezni kúp olyan síkmetszetére, amely parabolát és hiperbolát vág ki a kúpból, illetve egyenes körhenger ferde síkmetszetére, amely szintén ellipszist eredményez.[1]

A tétel következményei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha az ellipszist úgy definiáljuk (amint az gyakran történik), hogy az azoknak a P \, pontoknak a halmaza, melyekre igaz, hogy \overline{F_1 P} + \overline{F_2 P} = const, az előbbi gondolatmenet bizonyítja, hogy a kúp síkmetszete valóban ellipszis. Ebből az is következik, hogy a kúp síkmetszete szimmetrikus az \overline{F_1 F_2}\, egyenesre.

A direktrix a Dandelin-gömbökkel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Dandelin-gömbök segítségével a direktrixeket is meg lehet találni. Mindkét Dandelin-gömb egy kör mentén érinti a kúpot. A kör síkjának és a metszősíknak az áthatási vonala a direktrix. Ez ellipszisnél és hiperbolánál két direktrixet eredményez, parabolánál csak egyet.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Hajós György: Bevezetés a geometriába. 9. kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1991. ISBN 963-18-3173-6

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]