Ugrás a tartalomhoz

Biszférikus koordináta-rendszer

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A biszférikus koordináta-rendszer koordinátafelületei. A fókuszok 1 távolságra vannak a függőleges z-tengelytől. A piros önátmetsző tórusz a σ=45° koordinátafelület, a kék gömb a τ=0.5 koordinátafelület, és a sárga félsík a φ=60° koordinátafelület. A zöld tengely jelöli az a tengelyt, amihez a φ azimut viszonyítva van. A fekete pont a piros, kék és sárga felületek metszéspontja, melynek Descartes-koordinátái körülbelül (0,841; -1,456; 1,239)

A biszférikus koordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, ami a bipoláris koordináta-rendszerből származtatható a két fókuszt összekötő egyenes körüli forgatással. Ezzel a bipoláris koordináta-rendszer fókuszai megmaradnak pontoknak a biszférikus koordináta-rendszerben.

Definíció

[szerkesztés]

A biszférikus koordináták leggyakrabban használt definíciója:

ahol egy pont koordinátája megegyezik az szöggel; a koordináta pedig a fókuszoktól mért és hányadosának természetes logaritmusa:

Koordinátafelületek

[szerkesztés]

A konstans -jú felületek különböző sugarú, egymást metsző tóruszok:

melyek mind áthaladnak a fókuszokon, de nem metszik egymást. A konstans -jú felületek különböző sugarú, egymást nem metsző gömbök, melyek körülveszik a fókuszokat:

A konstans -jú gömbök középpontja a -tengelyen helyezkedik el, míg a konstans -jú tóruszok középpontja az -síkban található.

Inverz képletek

[szerkesztés]

Az inverz transzformációk képletei:

ahol és

Skálázási tényezők

[szerkesztés]

A és biszférikus koordináták skálázási tényezője megegyezik:

míg az azimut skálázási tényezője

Eszerint az infinitezimális térfogatelem:

és a Laplace-operátor:

A további differenciáloperátorok, mint és kifejezhetők a koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Alkalmazások

[szerkesztés]

A bipoláris koordináta-rendszer klasszikus alkalmazásai a parciális differenciálegyenletek megoldását segítik, például Laplace egyenletének megoldását, ahol is a bipoláris koordináták lehetővé teszik a változók szétválasztását. Azonban a a Heimholtz-egyenlet nem biztos, hogy szétválasztható ebben a koordináta-rendszerben.

Egy tipikus példa két különböző sugarú vezető gömb elektromos mezője.

Források

[szerkesztés]
  • Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, 665–666. o. (1953) 
  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 182. o. (1961) 
  • Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett, 113. o. (1992). ISBN 0-86720-293-9 
  • Moon PH, Spencer DE. Bispherical Coordinates (η, θ, ψ), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print, New York: Springer Verlag, 110–112 (Section IV, E4Rx). o. (1988). ISBN 0-387-02732-7 
  • MathWorld description of bispherical coordinates

Fordítás

[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Bispherical coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.