Bilineáris forma

Egy bilineáris forma a lineáris algebrában egy kétváltozós függvény, ami két vektorhoz egy skalárt rendel, és mindkét változójában lineáris. A változók származhatnak közös $K$ test fölötti különböző $V,W$ vektorterekből. Egy bilineáris forma egy $B\colon V\times W\to K$ leképezés. Egy bilineáris forma mindkét változójában lineáris forma, ezért egy kétváltozós multilineáris forma.

Definíció

Legyenek $V,W$ vektorterek ugyanazon $K$ test fölött. Általánosabban, legyen $V$ balmodulus és $W$ jobbmodulus ugyanazon gyűrű fölött.

Egy

$B\colon V\times W\to K,\quad (v,w)\mapsto B(v,w)=\langle v,w\rangle$

leképezés bilineáris forma, hogyha mindkét változójában lineáris, ami azt jelenti, hogy

• $\langle v_{1}+v_{2},w\rangle =\langle v_{1},w\rangle +\langle v_{2},w\rangle$,
• $\langle v,w_{1}+w_{2}\rangle =\langle v,w_{1}\rangle +\langle v,w_{2}\rangle$,
• $\langle \lambda v,w\rangle =\lambda \langle v,w\rangle$,
• $\langle v,w\lambda \rangle =\langle v,w\rangle \lambda$.

ahol $v,v_{1},v_{2}\in V$, $w,w_{1},w_{2}\in W$ és $\lambda \in K$.

Szimmetriatulajdonságok V = W esetén

Egy $B\colon V\times V\to K$ lineáris formának a következő szimmetriatulajdonságai lehetnek:

Egy $B$ bilineáris forma szimmetrikus, ha

$B(x,y)=B(y,x)$

minden $x,y\in V$-re.

A szimmetrikus bilineáris formulák esetén teljesül a $2\cdot B(x,y)=B(x+y,x+y)-B(x,x)-B(y,y)$ polarizációs formula. Innen következik, hogy a szimmetrikus bilineáris formát egyértelműen meghatározzák a $B(x,x),x\in V$ értékei, ha a skalártest karakterisztikája 2-től különböző, $(\operatorname {char} (K)\neq 2)$.

Egy $B$ bilineáris forma alternáló, ha

$B(x,x)=0$

minden $x\in V$-re.

Egy $B$ bilineáris forma antiszimmetrikus vagy ferdén szimmetrikus, ha

$B(x,y)=-B(y,x)$

minden $x,y\in V$-re.

Minden alternáló bilineáris forma ferdén szimmetrikus. Ha $\operatorname {char} (K)\neq 2$, például $K=\mathbb {R}$ és $K=\mathbb {C}$ esetén, akkor a megfordítás is teljesül: Minden antiszimmetrikus bilineáris forma alternáló. Általánosabban, kommutatív gyűrű fölötti modulusok esetén is ekvivalens a két tulajdonság, feltéve, ha a célmodulusnak nincs 2-torziója.