Berry–Esseen-tétel

A Berry–Esseen-tétel a centrális határeloszlás-tételben említett konvergencia sebességére ad mennyiségi választ egy adott maximális hibahatár figyelembevételével, a közelítő normális eloszlás és a valóságos minta középértékére vonatkozóan.

A tétel több változatban is létezik, mivel azt két matematikus Andrew C. Berry (1941-ben), Carl-Gustav Esseen (1942-ben) ) egymástól függetlenül fedezte fel, és ők és más szerzők is folyamatosan finomították a tételt az idők során.

A valószínűségszámítás elméletében, és a statisztika területén, a centrális határeloszlás-tétel azt állítja, hogy egy véletlenszerű mintavétel középértékének az eloszlása a normális eloszláshoz konvergál, ha minták száma elég nagy és tart a végtelenhez. Eloszlástételek esetében, melyeknél a konvergencia lényeges szerepet tölt be, jelentősége van a konvergencia sebességének.

Itt a tételben szereplő standardizált összeg-eloszlás görbék esetében az lehet érdekes, hogy milyen gyorsan simulnak rá a standard normális eloszlás görbéjére. A sebességgel kapcsolatos kifejezésben szerepel egy C konstans. A különböző szerzők kutatásai során ez a C érték több változáson ment keresztül.^[1]

1942-ben Essen 7,59-re értékelte, majd 0,7882 (van Beek (1972)), 0,7655 ( Shiganov (1986), 0,7056 ( Shevtsova (2007)), 0,7005 (Shevtsova (2008)), 0,5894 ( Tyurin (2009)), 0,5129 ( Korolev & Shevtsova (2009)) és 0,4785 ( Tyurin (2010)).^[2]

A konvergencia sebessége, vagyis az az időtartam, mely után az adott jelenség elegendően jól simul a normális eloszlás görbéjéhez, lényeges lehet egyes folyamatok kiértékelése során, mivel számos jelenség a centrális határeloszlás-tétel szerint viselkedik, és ezek között műszaki berendezések működésénél meghatározó lehet.

Irodalom[szerkesztés]

Berry, Andrew C: The Accuracy of the Gaussian Approximation to the Sum of Independent Variates. (hely nélkül): Transactions of the American Mathematical Society 49 (1). 1941. 122–136. o.
Esseen, Carl-Gustav: A moment inequality with an application to the central limit theorem. (hely nélkül): ". Skand. Aktuarietidskr 39. 1956. 160–170. o.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

↑ Esseen, Carl-Gustav (1956). "A moment inequality with an application to the central limit theorem". Skand. Aktuarietidskr. 39: 160–170.
↑ Shevtsova, I. G. (2010). "An Improvement of Convergence Rate Estimates in the Lyapunov Theorem". Doklady Mathematics 82 (3): 862–864. doi:10.1134/S1064562410060062

[1] Esseen, Carl-Gustav (1956). "A moment inequality with an application to the central limit theorem". Skand. Aktuarietidskr. 39: 160–170.

[2] Shevtsova, I. G. (2010). "An Improvement of Convergence Rate Estimates in the Lyapunov Theorem". Doklady Mathematics 82 (3): 862–864. doi:10.1134/S1064562410060062

[1]

[2]