Beatty-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Beatty tétele szócikkből átirányítva)

A Beatty-tétel az elemi számelmélet egyik állítása. A tételt Samuel Beatty tűzte ki az American Mathematical Monthly feladat rovatában, 1926-ban.[1][2]

A tétel kimondása[szerkesztés]

Legyen t>0 irracionális szám. Ekkor t Beatty-sorozatának nevezzük a

számsorozatot, ahol a szögletes zárójel az egészrészt jelöli.

A tétel szerint ha , pozitív irracionális számok, amikre teljesül

akkor és együtt minden pozitív egész számot pontosan egyszer tartalmazza.

Bizonyítások[szerkesztés]

Első bizonyítás[szerkesztés]

Világos, hogy és mindketten 1-nél nagyobb számok, ezért -ban, illetve -ban nem fordulhat elő egynél többször egy egész szám. Tehát a tétel igazolásához elegendő megmutatnunk, hogy (1) és (2). Még megjegyezzük, hogy mivel és irracionális, azért és sosem egész szám.

(1) bizonyítása: Tegyük fel indirekt, hogy van olyan n és m, hogy és ugyanabba a (k;k+1) intervallumba esik, vagyis

, ,

átosztva

, .

A két egyenlőtlenséget összeadva, és kihasználva a feltételt:

,

ami ellentmondás, hisz két szomszédos egész szám közé nem eshet más egész szám.

(2) bizonyítása: Tegyük fel indirekt, hogy valamely [k;k+1) intervallumba nem esik és alakú szám sem. Ilyenkor tehát valamely n-re és m-re fennáll, hogy

, de ;

, de .

Ismét átosztva és összeadva adódik, hogy

és

.

A kettőt összevetve adódik, ami ismét ellentmondás.

(1) és (2) belátásával pedig a tétel bizonyítást nyert.

Második bizonyítás[szerkesztés]

Jelölje valamely N>0 egész számra azt, hogy 0 és N közé -nak és -nak összesen hány többszöröse esik. Ha belátjuk, hogy minden N-re, hogy (*), akkor az intervallumban pontosan egy vagy alakú szám lehet, így N-et és pontosan egyszer tartalmazza.

Könnyen átgondolható, hogy darab -többszörös kisebb N-nél, és darab -többszörös, ahonnan

.

Egyfelől, mivel és irracionális, így garantáltan

.

Másrészt, az becslést felhasználva

adódik, így egész szám lévén csakis lehet. Ebből pedig (*) leolvasható.

Megjegyzés: utóbbi bizonyításból világosan látható, hogy a tétel megfordítása is igaz.

Mindkét bizonyítás kis módosításával megkaphatjuk a tétel rokon változatát pozitív racionális számokra: ha (m,n)=1 pozitív egészek, akkor a következő racionális szám közül pontosan egy esik az intervallumok mindegyikébe:

; .

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Beatty, Samuel (1926.). „Problem 3173” (angol nyelven). American Mathematical Monthly 33 (3), 159. o. DOI:10.2307/2300153.  
  2. S. Beatty, A. Ostrowski, J. Hyslop, A. C. Aitken (1927.). „Solutions to Problem 3173” (angol nyelven). American Mathematical Monthly 34 (3), 159–160. o. DOI:10.2307/2298716.  

Források[szerkesztés]

  • Alexander Bogomolny, Beatty Sequences, Cut-the-knot
  • Skljarszkij-Csencov-Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből I. (Aritmetika és algebra)