Ötszín-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A gráfelméletben az ötszín-tétel kimondja, hogy bármilyen térkép kiszínezhető legfeljebb öt szín felhasználásával. Ez természetesen következik az erősebb négyszín-tételből, de sokkal könnyebben bizonyítható annál. Alfred Kempe 1879-es, a négyszín-sejtésre adott hibás bizonyításának felhasználásával Percy John Heawoodnak sikerült először bizonyítania.

A bizonyítás menete[szerkesztés]

Először is, az adott térképhez rendeljünk hozzá egy gráfot, úgy hogy annak minden csúcspontja a térkép egy régiójának feleljen meg, és két csúcspontot akkor és csak akkor kössünk össze, ha a megfelelő régióknak közös határvonaluk van. Így a problémát átalakítottuk egy gráfszínezési problémává: úgy kell a gráf csúcspontjait kiszínezni, hogy egyik éle se kössön össze azonos színű pontokat.

A bizonyítás felteszi egy minimális ellenpélda-gráf létezését, tehát a legkisebb gráfét, amit nem lehet öt színnel kiszínezni. Ezután az Euler-karakterisztika felhasználásával megmutatja, hogy ebben a gráfban léteznie kell egy csúcsnak, amiben legfeljebb öt él találkozik, majd kihasználja, hogy síkba rajzolható gráf, tehát lerajzolható a síkban anélkül, hogy egymást metsző éleket rajzolnánk.

Most távolítsuk el csúcspontot a gráfból. Az így nyert gráfnak kevesebb csúcspontja van, mint -nek, tehát indukcióval feltehetjük, hogy ugyanúgy kiszínezhető öt színnel. Ezután tekintsük az öt csúcsot, amelyek -vel szomszédosak voltak, legyenek ezek , , , és . Ha nem használtuk fel mind az öt színt, akkor nyilvánvalóan ki tudjuk színezni a csúcspontot úgy, hogy a gráfot 5 színnel tudjuk színezni.

Így tehát feltehetjük, hogy a , , , és csúcspontok az 1, 2, 3, 4, 5 jelű színekkel vannak színezve.

Ezután tekintsük azon részgráfját, ami csak azokat a csúcspontokat tartalmazza, amelyek színe 1-es vagy 3-as, és a köztük lévő éleket. Ha a és a csúcspontok a részgráf nem összefüggő részén vannak, fordítsuk meg színezését úgy, hogy az 1-es számú színt a csúcshoz rendeljük hozzá.

Ha viszont és csúcspontok a összefüggő részén vannak, akkor találhatunk a részgráfban őket összekötő utat, tehát élek és csúcspontok olyan sorozatát, ami csak az 1-es és a 3-as színekkel van színezve.

Ezután tekintsük a azon részgráfját, ami csak a 2-es vagy 4-es színű csúcspontokat és a köztük lévő éleket tartalmazza, és alkalmazzuk az 1 és 3 színeknél használt logikai lépéseket. Ezután vagy meg tudjuk fordítani a színezést a részgráfon és a csúcspontot mondjuk 2 színűre színezni, vagy a és a csúcsok között létezik út, ami csak 2-es vagy 4-es színű csúcspontokon megy át. Ez utóbbi lehetőség teljesen abszurd, hiszen ez az út keresztezné azt az utat, amit a részgráfban konstruáltunk.

Tehát valójában kiszínezhető öt színnel, így az eredeti feltételezésünk hamis volt.

Lásd még[szerkesztés]