Gauss–Jordan-elimináció
![]() |
Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. |
Gauss-elimináció: legyen adott egy n ismeretlenes lineáris egyenletrendszer. Ha minden együttható és minden konstans nulla (azaz a bővített mátrix nullmátrix), akkor mindegyik egyenlet 0=0 alakú, és ezért minden szám-n-es megoldás. Ellenkező esetben az egyenletrendszert elemi átalakításokkal lépcsőssé alakíthatjuk.
Carl Friedrich Gauss és Wilhelm Jordan tiszteletére róluk nevezték el.
Mátrixok redukálása diagonális alakra
[szerkesztés]Ez egy viszonylag könnyen megérthető módszer. Nagyon hasonlít a Gauss-eliminációra, csak annyi az eltérés, hogy az adott oszlop kinullázása mind a főátló alatti, mind a főátló feletti elemeket érinti. 4x4-es mátrix esetén az A mátrix alakulása a következőképpen történik:
nxn-es mátrix esetén az általános transzformációs képlet a k. oszlop nullázásánál
; ;
Abban az esetben ha nem csak az egyenletrendszer megoldása a kérdés, hanem az A mátrix inverze is érdekel minket, a módszer hatékonysága nem sokkal marad el a többi általános módszertől. Azonban ha a mátrix inverzére nincs szükségünk, a módszer lassúbb mint, a legjobb alternatív megoldás (Pl. az LU felbontás).
Egy lehetséges algoritmus a Gauss-Jordan kiküszöbölésre
[szerkesztés]function GaussJordan(inout(aij),(bi) i,j=1...n)
for k ← 1 to n do for i ← 1 to n do if (i != k) then l←aik / akk bi← bi-l*bk for j←k to n do aij←aij-l*akj end for end if end for end for return(aij),(bi)
Fontos még megjegyezni, hogy a Gauss-Jordan módszert sosem használjuk a főelem kiválasztás alkalmazása nélkül.
Inverzek megtalálásának módszere
[szerkesztés]Ha a Gauss-Jordan eliminációt négyzet mátrixhoz alkalmazzuk, akkor használható a mátrix inverzének kiszámításához. Ez megtehető a négyzet mátrixnak ugyanazon dimenziók megegyező mátrixaival való fokozásával, a következő mátrix műveleten keresztül:
Ha az eredeti négyzet mátrix A, , megfelel a következő kifejezésnek:
Azután az azonosság fokozásával a következő áll fenn:
Az alapvető számsorú műveletek végrehajtásával a mátrixon [AI] amíg A eléri a csökkentett számsorú lépcsős formát, a következő lesz a végső eredmény:
A mátrix növelése/fokozása/szaporítása most már megszüntethető, amely a következőt adja:
A mátrix nem szinguláris (mely azt jelenti, hogy van inverz mátrixa), ha az azonos mátrix elérhető csak alapvető számsori műveletekkel.
Források
[szerkesztés]- Lipschutz, Seymour, and Lipson, Mark. "Schaum's Outlines: Linear Algebra". Tata McGraw-hill edition. Delhi 2001. pp. 69–80.
- Strang, Gilbert (2003). Introduction to Linear Algebra, 3rd edition, Wellesley, Massachusetts: Wellesley-Cambridge Press, 74-76.
- Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába; Polygon Kiadó; 2003