Schauder-bázis

A funkcionálanalízisben egy Banach-tér Schauder-bázisa egy $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sorozat, ha minden vektor előáll $\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}\cdot b_{n},\;\xi _{n}\in \mathbb {K}$ konvergens sorként. Megkülönböztetendő a Hamel-bázistól, aminek véges lineáris kombinációkkal kell előállítania a tér vektorait.

A Schauder-bázis a lengyel Juliusz Schauderről (1899–1943) kapta a nevét, aki 1927-ben írta le.

Definíció

Legyen $(X,\left\|\cdot \right\|)$ Banach-tér a $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ vagy $\mathbb {C}$ fölött! Egy $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sorozat Schauder-bázis $X$-ben, ha minden $x\in X$ előáll $\textstyle x=\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}\cdot b_{n},\;\xi _{n}\in \mathbb {K}$ konvergens sorként.

Példák

A $\textstyle \ell ^{p}:=\left\{(x_{j})_{j=1}^{\infty },x_{j}\in \mathbb {R} \,:\,\sum _{j=1}^{\infty }|x_{j}|^{p}<\infty \right\}$ sorozattérben a $\textstyle \left\|x\right\|_{\ell ^{p}}={\sqrt[{p}]{\sum _{j=1}^{\infty }|x_{j}|^{p}}}$ ℓ^p-normájú halmaznak Schauder-bázisa a $(1,0,0,\dotsc ),(0,1,0,0,\dotsc ),\dotsc$ egységvektorok.

Végezzük el a $h_{1}(x)=1$ helyettesítésre minden $x\in [0,1]$-re, és definiáljuk minden $1\leq i\leq 2^{n}$, $n\in \mathbb {N} _{0}$-re $h_{2^{n}+i}\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R}$-t úgy, mint:

$h_{2^{n}+i}(x)={\begin{cases}1,&(2i-2)/2^{n+1}\leq x<(2i-1)/2^{n+1},\\-1,&(2i-1)/2^{n+1}\leq x<2i/2^{n+1},\\0&{\text{egyébként}}.\end{cases}}$

Konstans tényező erejéig minden $h_{k}$ egy $[0,1)$-re korlátozott Haar-wavelet függvény. A Haar Alfrédról Haar-rendszernek nevezett $(h_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ sorozat az L^p([0,1]) térben a $1\leq p<\infty$ halmaz Schauder-bázisa.

A $C([0,1])$ egy Schauder-bázisának konstruálásához legyen $(q_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ egy ismétlések nélküli, sűrű sorozat $[0,1]$-ben, és legyen $q_{1}=0,q_{2}=1$! Ehhez vesszük például az egységintervallum racionális pontjainak bijektív felsorolását, például felezéses módszerrel: $0,1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {1}{8}},{\tfrac {3}{8}},{\tfrac {5}{8}},{\tfrac {7}{8}},\ldots ,{\tfrac {2k+1}{2^{n}}},\ldots$

Legyen minden $n\in \mathbb {N}$-re definiálva $e_{n}\in C([0,1])$ úgy, hogy $e_{1}$ = konstans 1, és minden további $n>1$-re legyen $e_{n}(q_{n})=1$, $e_{n}(q_{k})=0$ minden $k=1,\ldots ,n-1$-re, és $e_{n}$ legyen affin-lineáris $[0,1]\setminus \{q_{1},\ldots ,q_{n}\}$-en! Ekkor az $(e_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sorozat Schauder-bázisa C([0,1])-nek. Ez a konstrukció Juliusz Schaudertől származik, és ezt a bázist nevezik a Schauder-bázisnak.

Tulajdonságok

Általános tulajdonságok

Ha egy Banach-térben van Schauder-bázis, akkor szeparábilis, mivel a véges lineáris kombinációk a $\mathbb {Q}$, illetve $\mathbb {Q} +i\mathbb {Q}$-ból származó együtthatókkal sűrű, megszámlálható halmazt alkotnak.

A megfordítás nem teljesül: ha egy Banach-tér szeparábilis, az nem garantál Schauder-bázist.

A Schauder-bázisos Banach-terek approximációs tulajdonságúak.

Végtelen dimenziós vektorterekben egy Schauder-bázis sosem Hamel-bázis, mivel végtelen dimenziós terekben egy Hamel-bázis mindig megszámlálhatatlan. Lásd: Baire-tétel.

Együttható-funkcionálok

Egy $x\in X$ elem ábrázolása egy Schauder-bázisban definíció szerint egyértelmű. A $b_{n}^{\ast }\colon x\mapsto \xi _{n}$ hozzárendeléseket együttható-funkcionáloknak nevezik; folytonosak és lineárisak, így elemei $X$ duális terének.