„Von Mangoldt-függvény” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat]

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva

Sorban

A lap 2015. július 5., 19:38-kori változata

A matematikában a von Mangoldt-függvény egy Hans von Mangoldtról elnevezett számelméleti függvény. Példa arra, hogy egy fontos számelméleti függvény nem szükségképpen multiplikatív vagy additív.

Definíció

A Λ(n)-nel jelölt von Mangoldt-függvény definíciója:

\Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{ha }}n=p^{k}{\text{ egy }}p{\text{ prímre és egy }}k\geq 1{\text{ egészre }},\\0&{\text{egyébként.}}\end{cases}}

Λ(n) értékei az első kilenc pozitív egészre

0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,

ami az (A014963 sorozat az OEIS-ben) sorozathoz kapcsolódik.

Összegfüggvénye a ψ(x) Csebisev-függvény, aminek definíciója:

\psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).

A ψ(x) függvényre von Mangoldt explicit képletet is meghatározott, amiben a Riemann-féle zéta-függvény nem triviális gyökeinek összege is szerepel. EZ a prímszámtétel első bizonyításának fontos része volt.

Tulajdonságok

A von Mangoldt-függvény megfelel a következő azonosságnak:^[1]^[2]

\log(n)=\sum _{d\mid n}\Lambda (d).

Az összeg befutja azokat a pozitív egész d-ket, amelyek osztói n-nek. Ez bizonyítható a számelmélet alaptételével, mivel azok az értékek, amelyeket a függvény nem prímhatványokra vesz fel, csak a nulla. Legyen például n = 12 = 2² × 3Ekkor

{\begin{aligned}\sum _{d\mid 12}\Lambda (d)&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (4)+\Lambda (6)+\Lambda (12)\\&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda \left(2^{2}\right)+\Lambda (2\times 3)+\Lambda \left(2^{2}\times 3\right)\\&=0+\log(2)+\log(3)+\log(2)+0+0\\&=\log(2\times 3\times 2)\\&=\log(12).\end{aligned}}

A Möbius-inverzióval kapjuk, hogy^[2]^[3]^[4]

\Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log(d)\ .

↑ Apostol (1976) p.32
↑ ^a ^b Tenenbaum (1995) p.30
↑ Apostol (1976) p.33
↑ Schroeder, Manfred R.. Number theory in science and communication. With applications in cryptography, physics, digital information, computing, and self-similarity, 3rd, Springer Series in Information Sciences, Berlin: Springer-Verlag (1997). ISBN 3-540-62006-0

[Apo32-1] Apostol (1976) p.32

[Ten30-2] Tenenbaum (1995) p.30

[Apo33-3] Apostol (1976) p.33

[4] Schroeder, Manfred R.. Number theory in science and communication. With applications in cryptography, physics, digital information, computing, and self-similarity, 3rd, Springer Series in Information Sciences, Berlin: Springer-Verlag (1997). ISBN 3-540-62006-0

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ 13. sor: / 13. sor: @@
 A ''ψ''(''x'') függvényre von Mangoldt explicit képletet is meghatározott, amiben a [[Riemann-féle zéta-függvény]] nem triviális gyökeinek összege is szerepel. EZ a prímszámtétel első bizonyításának fontos része volt.
+==Tulajdonságok==
+A von Mangoldt-függvény megfelel a következő azonosságnak:<ref name=Apo32>Apostol (1976) p.32</ref><ref name=Ten30>Tenenbaum (1995) p.30</ref>
+:<math>\log(n) = \sum_{d \mid n} \Lambda(d).</math>
+Az összeg befutja azokat a pozitív egész ''d''-ket, amelyek osztói ''n''-nek.  Ez bizonyítható a számelmélet alaptételével, mivel azok az értékek, amelyeket a függvény nem prímhatványokra vesz fel, csak a nulla.  Legyen például ''n'' {{=}} 12 {{=}} 2<sup>2</sup> × 3Ekkor
+:<math>\begin{align}
+\sum_{d \mid 12} \Lambda(d) &= \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(3) + \Lambda(4) + \Lambda(6) + \Lambda(12) \\
+&= \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(3) + \Lambda \left (2^2 \right ) + \Lambda(2 \times 3) + \Lambda \left (2^2 \times 3 \right) \\
+&= 0 + \log(2) + \log(3) + \log(2) + 0 + 0 \\
+&=\log (2 \times 3 \times 2) \\
+&= \log(12).
+\end{align}</math>
+A [[Möbius-inverzió]]val kapjuk, hogy<ref name=Ten30/><ref name=Apo33>Apostol (1976) p.33</ref><ref>{{cite book | last=Schroeder | first=Manfred R. | title=Number theory in science and communication. With applications in cryptography, physics, digital information, computing, and self-similarity | edition=3rd | zbl=0997.11501 | series=Springer Series in Information Sciences | volume=7 | location=Berlin | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1997 | isbn=3-540-62006-0 }}</ref>
+:<math>\Lambda (n) = - \sum_{d \mid n} \mu(d) \log(d) \ . </math>
 [[Kategória: Számelmélet]]