Vita:Neutrális elem

Ez a szócikk témája miatt a matematikai műhely érdeklődési körébe tartozik.
Bátran kapcsolódj be a szerkesztésébe! Teljes Ez a szócikk teljes besorolást kapott a kidolgozottsági skálán. Nagyon fontos Ez a szócikk nagyon fontos besorolást kapott a műhely fontossági skáláján. Értékelő szerkesztő: Qorilla (vita), értékelés dátuma: 2009. április 28.

Táblázatok

• Kedves HTML-szakértők, sajnos a táblázatok valahogy nem rendeződnek egy sorba: az egyik lejjebb lóg, mint a másik. Ha valaki tud megoldást, kérem intézkedjen).

Általánosítás, ha lehetséges

Legyen adott egy U halmaz és egy $f\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right):U^{n}\mapsto U$ homogén n-változós művelet (n>1).

Definiáljuk az (U, f) struktúra (ez nem nevezhető grupoidnak, mert a művelet nem feltétlenül kétváltozós) y ∈ U elemhez és i-edik változóhoz tartozó homogén i-edik (1 ≤ i ≤ n) transzlációját, $f_{y}$ -t a következőképp: $f_{y}\left(x\right):$ $U\mapsto U;$ $\forall x\in U:f_{y}\left(x\right)=f\left(y,...,y,x,y,...,y\right)$, tehát ez egy 1-változós homogén művelet, mely úgy keletkezik, hogy f i-edik változója kivételével az összes változót rögzítjük, mégpedig ugyanazzal az elemmel. A homogén nem (csak) a művelet homogenitására utal, hanem arra, hogy egyetlen elemet írun mindenhova (a normál transzláció csak elemrendszerekre és változórendszerekre értelmezhető: rögzített elemek egy rendszerét behelyettesítjük a változók egy kombinációjának tagjaiba) .

Ekkor a $\nu \in U$ elemet a művelet i-edik változójára nézve neutrálisnak nevezzük, ha $f_{\nu }\left(x\right)=x$ tetszőleges $x\in U$ esetén.

Az i-edik változóra nézve neutrális elem fogalma a féloldali neutrális elem általánosítása (egy balneutrális elem egy kétváltozós művelet második változójára nézve neutrális, míg egy jobbneutrális elem az elsőre). A (kétoldali) neutrális elem fogalmának általánosítása pedig homogén n-áris művelet esetén a minden változóra nézve neutrális elem fogalma (nevezhetnénk mondjuk pánnneutrálisnak): ez olyan elem, amely tetszőleges i ∈ {1,2,...,n} esetén az f i-edik változójára nézve is neutrális.

Az i-edik változóra nézve neutrális elem fogalma tulajdonképp általánosítható inhomogén műveletre is (csak itt már nem elemek, hanem elemrendszerek lesznek neutrálisak, és nem egy adott változóra, hanem egy változórendszerre). A pánneutrális elem(rendszer) fogalmának ez esetben azonban már általában nincs értelme, mivel ha egy elemrendszert egy változórendszer helyébe helyettesítünk, akkor csak nagyob speciális esetekben lehet más változórendszerek helyébe is helyettesíteni, hiszen a művelet inhomogenitása miatt tetszőleges elemet már nem írhatunk tetszőleges változó helyébe.