Taylor-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A kalkulusban a Taylor-tétel egy módszert ad arra miként lehet közelítést adni egy n-ed fokú polinommal bármely függvényre egy tetszőlegesen kiválasztott "a" kezdőpontból kiindulva. A kezdőponttól távolodva a közelítés egyre pontatlanabb lesz, a pontatlanság mértékére egy R maradéktagból következtethetünk.

Taylor tétel egyváltozós valós értékekre[szerkesztés]

Ha az függvény ""-szer differenciálható az "" pontban" akkor:


Az maradék egzakt "Integrál" alakja:

a maradék középértékes "Lagrange" féle alakja: ahol "" az (,) intervallumon belül van valahol.

a maradék középértékes "Cauchy" féle alakja: , ahol "" az (,) intervallumon belül van valahol.

Bizonyítás[szerkesztés]

Legyen az F függvény meghatározva így:

A függvény "a" és "x" pontbeli értékeiből adódik:

A függvény deriváltjaként

egyszerúsítés után egy rövidebb formát kapunk:

vagyis F kifejezhető a következő határozatlan integrállal is:

amit a fentiekbe behelyettesítve: kapjuk a Taylor tétel Integtrál alakját:

Lagrange féle maradék[szerkesztés]

A Cauchy-féle középértéktételt alkalmazva az és függvényekre :

kapjuk a Lagrange féle maradékot: ahol "" az (,) intervallumon belül van valahol, a középértéktételből adódóan.

Cauchy féle maradék[szerkesztés]

A Cauchy-féle középértéktételt alkalmazva az és függvényekre hasonlóan számolva mint a Lagrange maradéknál,

kapjuk a Cauchy féle maradékot: ahol "" az (,) intervallumon belül van valahol, a középértéktételből adódóan.

A maradék közelítő értéke[szerkesztés]

A Cauchy-féle középértéktételt alkalmazva az és függvényekre az (a,x) intervallumon:

kapjuk a maradék egy más fajta alakját:

mejnek segítségvel megadható a maradék közelítő értéke amikor "" tart a végtelenbe és az (a,x) intervallumon:

ahol