Taylor-tétel

A kalkulusban a Taylor-tétel egy módszert ad arra miként lehet közelítést adni egy n-ed fokú polinommal bármely függvényre egy tetszőlegesen kiválasztott "a" kezdőpontból kiindulva. A kezdőponttól távolodva a közelítés egyre pontatlanabb lesz, a pontatlanság mértékére egy R maradéktagból következtethetünk.

Taylor tétel egyváltozós valós értékekre

Ha az ${f}$függvény "${n}$"-szer differenciálható az "${a}$" pontban" akkor:

${{f}_{\left(x\right)}}={{f}_{\left(a\right)}}+\left(x-a\right)\cdot f_{\left(a\right)}^{'}+...+{\frac {{\left(x-a\right)}^{n}}{n!}}\cdot f_{\left(a\right)}^{n'}+R$

Az ${R}$ maradék egzakt "Integrál" alakja: $R=\int \limits _{a}^{x}{{\frac {{{\left(x-y\right)}^{n}}\cdot f_{\left(y\right)}^{\left(n+1\right)'}}{n!}}dy}$

a maradék középértékes "Lagrange" féle alakja: $R={\frac {{\left(x-a\right)}^{n+1}}{\left(n+1\right)!}}\cdot f_{\left(c\right)}^{n+1'}$ ahol "${c}$" az (${a}$,${x}$) intervallumon belül van valahol.

a maradék középértékes "Cauchy" féle alakja: $R={\frac {{{\left(x-c\right)}^{n}}\cdot \left(x-a\right)}{n!}}\cdot f_{\left(c\right)}^{n+1'}$, ahol "${c}$" az (${a}$,${x}$) intervallumon belül van valahol.

Bizonyítás

Legyen az F függvény meghatározva így: ${{F}_{\left(y\right)}}={{f}_{\left(y\right)}}+\left(x-y\right)\cdot f_{\left(y\right)}^{'}+...+{\frac {{\left(x-y\right)}^{n}}{n!}}\cdot f_{\left(y\right)}^{n'}$

A függvény "a" és "x" pontbeli értékeiből adódik: ${{f}_{\left(x\right)}}={{f}_{\left(a\right)}}+\left(x-a\right)\cdot f_{\left(a\right)}^{'}+...+{\frac {{\left(x-a\right)}^{n}}{n!}}\cdot f_{\left(a\right)}^{n'}+\left({{F}_{\left(x\right)}}-{{F}_{\left(a\right)}}\right)$

A függvény deriváltjaként $F_{\left(y\right)}^{'}=\left[{\cancel {f_{\left(y\right)}^{'}}}\right]+\left[{\cancel {-1\cdot f_{\left(y\right)}^{'}}}+{\cancel {\left(x-y\right)\cdot f_{\left(y\right)}^{''}}}\right]+...+\left[{\cancel {-{\frac {{\left(x-y\right)}^{n-1}}{\left(n-1\right)!}}\cdot f_{\left(y\right)}^{n'}}}+{\frac {{\left(x-y\right)}^{n}}{n!}}\cdot f_{\left(y\right)}^{n+1'}\right]$

egyszerúsítés után egy rövidebb formát kapunk: $F_{\left(y\right)}^{'}={\frac {{\left(x-y\right)}^{n}}{n!}}\cdot f_{\left(y\right)}^{n+1'}$

vagyis F kifejezhető a következő határozatlan integrállal is: ${{F}_{\left(y\right)}}=\int {{\frac {{{\left(x-y\right)}^{n}}\cdot f_{\left(y\right)}^{\left(n+1\right)'}}{n!}}dy}$

amit a fentiekbe behelyettesítve: kapjuk a Taylor tétel Integtrál alakját:

${{f}_{\left(x\right)}}={{f}_{\left(a\right)}}+\left(x-a\right)\cdot f_{\left(a\right)}^{'}+...+{\frac {{\left(x-a\right)}^{n}}{n!}}\cdot f_{\left(a\right)}^{n'}+\int \limits _{a}^{x}{{\frac {{{\left(x-y\right)}^{n}}\cdot f_{\left(y\right)}^{\left(n+1\right)'}}{n!}}dy}$

Lagrange féle maradék

A Cauchy-féle középértéktételt ${{F}_{\left(x\right)}}-{{F}_{\left(a\right)}}=\left({{G}_{\left(x\right)}}-{{G}_{\left(a\right)}}\right)\cdot {\frac {F_{\left(c\right)}^{'}}{G_{\left(c\right)}^{'}}}$alkalmazva az ${{F}_{\left(y\right)}}$ és ${{G}_{\left(y\right)}}={{\left(x-y\right)}^{n+1}}$ függvényekre :

$R={{F}_{\left(x\right)}}-{{F}_{\left(a\right)}}=\left(0-{{\left(x-a\right)}^{n+1}}\right)\cdot {\frac {{\frac {{\left(x-c\right)}^{n}}{n!}}\cdot f_{\left(c\right)}^{n+1'}}{-\left(n+1\right)\cdot {{\left(x-c\right)}^{n}}}}={\frac {{\left(x-a\right)}^{n+1}}{\left(n+1\right)!}}\cdot f_{\left(c\right)}^{n+1'}$

kapjuk a Lagrange féle maradékot: $R={\frac {{\left(x-a\right)}^{n+1}}{\left(n+1\right)!}}\cdot f_{\left(c\right)}^{n+1'}$ahol "${c}$" az (${a}$,${x}$) intervallumon belül van valahol, a középértéktételből adódóan.

Cauchy féle maradék

A Cauchy-féle középértéktételt alkalmazva az ${{F}_{\left(y\right)}}$ és ${{G}_{\left(y\right)}}=\left(x-y\right)$ függvényekre hasonlóan számolva mint a Lagrange maradéknál,

kapjuk a Cauchy féle maradékot: $R={\frac {{{\left(x-c\right)}^{n}}\cdot \left(x-a\right)}{n!}}\cdot f_{\left(c\right)}^{n+1'}$ahol "${c}$" az (${a}$,${x}$) intervallumon belül van valahol, a középértéktételből adódóan.

A maradék közelítő értéke

A Cauchy-féle középértéktételt ${{F}_{\left(x\right)}}-{{F}_{\left(a\right)}}=\left({{G}_{\left(x\right)}}-{{G}_{\left(a\right)}}\right)\cdot {\frac {F_{\left(c\right)}^{'}}{G_{\left(c\right)}^{'}}}$alkalmazva az ${{F}_{\left(y\right)}}$ és ${{G}_{\left(y\right)}}=f_{\left(y\right)}^{n'}$ függvényekre az (a,x) intervallumon:

$R={{F}_{\left(x\right)}}-{{F}_{\left(a\right)}}=\left(f_{\left(x\right)}^{n'}-f_{\left(a\right)}^{n'}\right)\cdot {\frac {{\frac {{\left(x-c\right)}^{n}}{n!}}\cdot f_{\left(c\right)}^{n+1'}}{f_{\left(c\right)}^{n+1'}}}={\frac {{\left(x-c\right)}^{n}}{n!}}\cdot \left(f_{\left(x\right)}^{n'}-f_{\left(a\right)}^{n'}\right)$

kapjuk a maradék egy más fajta alakját:

$R={\frac {{\left(x-c\right)}^{n}}{n!}}\cdot \left(f_{\left(x\right)}^{n'}-f_{\left(a\right)}^{n'}\right)$

mejnek segítségvel megadható a maradék közelítő értéke amikor "${n}$" tart a végtelenbe és $f_{\left(x\right)}^{n-\varepsilon +1'},f_{\left(x\right)}^{n+1'},f_{\left(x\right)}^{n+\varepsilon +1'}\neq 0$ az (a,x) intervallumon:

$R={\underset {n\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {1}{{\frac {1}{\sum \limits _{i=n+1}^{n+\varepsilon }{\frac {{{\left(x-a\right)}^{i}}\cdot f_{\left(a\right)}^{i'}}{i!}}}}-{\frac {1}{\sum \limits _{i=n-\varepsilon +1}^{n}{\frac {{{\left(x-a\right)}^{i}}\cdot f_{\left(a\right)}^{i'}}{i!}}}}}}$ ahol $\varepsilon =1,2...$