Szerkesztő:Siuoq/Galilei geometria

Elnevezései

• szemieuklideszi ~
• kétszeresen parabolikus ~ - mind a szög, mind a távolságmérés parabolikus metrikát használ, lásd még a 9 Cayley-Klein-féle síkgeometriát
• izotrop ~
• zászló~

Kapcsolat a Galilei-féle speciális relativitási elvvel

Galilei relativitási elve szerint néhány mechanikai és kinematikai tulajdonság invariáns marad az inerciarendszer Galilei-transzformációjára, azaz ha áttérünk egy hozzá képest egyenes vonalú, egyenletes sebességgel mozgó inerciarendszerre. Az elv szerint nem állapítható meg abszolult hely, idő vagy sebesség, ellenben két (egyidejű) pont távolsága, két esemény közti időtartam, vagy két sebesség közti különbség minden rendszerben állandó.

Egydimenziós mozgás esetén a transzformáció:

t' = t + a

x' = x + vt + b

Ha pontszerű testek vonalmenti mozgását, vagy pont és pillanatszerű eseményeket ábrázolunk egy x-t koordinátarendszerben, és azt mondjuk, hogy minden eseménynek egy P(t,x) pont, és minden egyenes vonalú egyenletes mozgásnak egy x = vt + a egyenletű egyenes felel meg, etc. akkor erre a rendszerre igazak a Galilei-féle síkgeometria axiómái, tehát egy modelljét kapjuk.

Egybevágóságok, hasonlóságok, egyéb transzformációk

Az egyenesre vonatkozó tükrözés iránytartó, de szögfordító

A geometria geometria legáltalánosabb egybevágósága, amely minden távolságot és szöget megtart, a Galilei-transzformáció. Ez két transzformációvá választható szét:

• a forgatás, vagy nyírás
• eltolás

A legegyszerűbb transzformációk, melyek a távolságok és szögek nagyságát megtartják, irányukat megváltoztatják:

• origóra való tükrözés, amely a szögeket megtartja, de a távolságokat negálja,
• x tengelyre való tükrözés amely a távolságokat megtartja, de a szögeket megfordítja

Ezeknek a transzformációknak a Galilei-transzformációkkal vett kombinációjuk megadja az összes olyan transzformációt, amely abszolultértékben megtartja a szögeket és távolságokat.

Hasonlósági transzformációk:

• origó középponttú nyújtás: a szögeket megtartja, de minden távolságot λ-szorosára nyújt
• x tengelyre való nyújtás (affinitás): minden távolságot megtart, de a szögeket λ-szorozza

Léteznek még pont-pont transzformációk, mint inverzió, kollinealitások, gyorsítás, és olyanok is, ahol pont képe nem féltétlen pont, például reciprocitás.

A fentiekből adódik, hogy két háromszög egybevágóságára és hasonlóságára mások a kritériumok, mint az Euklideszi geometriában:

Pontok és egyenesek

• kitüntetett egyenesek

• A(x_A,y_A) és B(x_B,y_B) pontok távolsága: d_AB=x_B-x_A; ha ez az érték 0, akkor értelmes mennyiség a e_AB=y_B-y_A
• A: m_Ax-b_A=0 és B: m_Bx-b_B=0 egyenletű egyenesek szöge: α_AB=m_B-m_A; ha ez az érték 0, akkor értelmes mennyiség a p_AB=b_B-b_A
• speciális pontok és speciális egyenesek: a speciális pontok és speciális egyenesek csupán egyetlen (m, és x) paraméterrel jellemezhetőek

Dualitás

• rendeljünk minden irányhoz egy-egy speciális pontot, amelyiken átmegy
• belátandó állítások dualitással belátottakba vihetőek
• ciklusra vonatkozó reciprocitás

Háromszögek

Háromszögegyenlőtlenség, szögösszeg

Ha egy háromszög (irányított) oldalai a, b és c, (irányított) szögei pedig α, β és γ, akkor fennáll, hogy

a + b + c = 0

α + β + γ = 0

Szinusz-tétel

Az Euklideszi geometria szinusz-tételével analóg állítás: ha a, b, c egy háromszög oldalai, és α, β, γ a szögei, akkor

${\frac {a}{\alpha }}={\frac {b}{\beta }}={\frac {c}{\gamma }}$

Bizonyítása:

Felírjuk az m_c szakaszt kétféleképpen:

$m_{c}=\alpha \cdot b=\beta \cdot a$

Körök és ciklusok

• egy ponttól d távolságra levő pontok halmaza két speciális egyenes
• ciklus: Ay+Bx^2+Cx+D=0 egyenletű görbe

• azok a pontok, ahonnan az A és B pontok ugyanakkora k szögben látszódnak:

${\frac {y-y_{A}}{x-x_{A}}}-{\frac {y-y_{B}}{x-x_{B}}}=k$

ami általános esetben egy k/(-x_A-x_B) főegyütthatójú, A és B pontokon átmenő függőleges tengelyű parabola lesz, speciális esetben egy körré, esetleg egy egyenespárrá fajulhat(?)

• annak bizonyítása, hogy egy kitüntetett egyenesen nincs két olyan pont, ahonnan az AB ugyanakkora szögben látszik

• látószögekre duális tulajdonság:

Pont és egyenes ciklusra vonatkozó hatványa

Források

• Jaglom, I.M. Galilei relativitási elve és egy nemeuklideszi geometria (Gondolat,1985) https://archive.org/stream/ASimpleNon-euclideanGeometryAndItsPhysicalBasis/Yaglom-ASimpleNon-euclideanGeometryAndItsPhysicalBasis