Szerkesztő:Physis/A komplex számok algebrai modellje

Bevezetés

A valós számok testét – $\mathbb {R}$ – „egészítsük ki egy szimbólummal”. Jelöljük mondjuk x-szel ezt a szimbólumot, nevezzük a továbbiakban x-et „határozatlannak”, vagyis csak arra ügyeljünk, hogy a „feltétlenül szükséges” összefüggések érvényben maradjanak. Tehát pl. a $3x,\;x^{2},\;5x^{2}$ kifejezések helyébe ne írjunk valami valami végeredményt, hanem ezeket mint formális kifejezéseket rendre új meg új elemként fogadjuk el. Szóval ne várjuk el, hogy ezeknek valami ismert, konkrét valós szám értéke legyen, ne írjunk a 3x helyébe pl. 28-at, egyáltalán, ne tételezzünk semmi új összefüggést a legáltalánosabbakon kívül, ne tételezzünk fel például, hogy x négyzete mondjuk éppen 4.

Arra azért ügyelünk, hogy legalább a gyűrűaxiómák megmaradjanak, szóval a $3x+5x$ persze összevonható $8x$-szé, és a $(3x+1)\cdot (5x+2)$ is összevonható $15x^{2}+11x+2$ kifejezéssé.

Ilyen módon a valós számok testéből a valós számok fölötti polinomok gyűrűjéhez jutottunk el. Ezt fejezzük ki az alábbi szimbólummal: $\mathbb {R} [x]$.

Most azonban ne ilyen módon bővítsük a valós számok testét, hanem tegyünk fel néhány dolgot. Bővítsük a valós számok testét úgy, hogy „egy összefüggést előírunk”. Szóval „bővítsük” a valós számok testét „egy i szimbólummal”, ahol „az $\mathrm {i} ^{2}=-1$” összefüggést előírjuk”, és persze továbbra is elvárjuk azt, amit az előbb, tehát pl. a gyűrűaxiómákat, vagyis pl. a $3\mathrm {i} +5\mathrm {i}$ persze összevonható 8i-vé.

Szóval ha éppen ezt a speciális összefüggést írjuk elő az új i szimbólumra, és egyben ügyelünk a korábbi axiómákat érvényben tartó „számolási szabályokra” is, akkor éppen a komplex számok halmazát konstruáljuk meg.

Ezeket a lépéseket precízzé lehet tenni, hogy az analógiákon alapuló képes nyelv helyett (amit fentebb használtam), ehelyett igazán pontos matematikai fogalmakat használjunk. Itt már nagyon felületes a tudásom, mert ennek igen nagy elmélete van. Ilyesmire emlékszem:

A komplex számok algebrai modellje

Polinomgyűrű

Először bővítsük a valós számok $\mathbb {R}$ testét az $\mathbb {R} [x]$ polinomgyűrűvé.

Polinomideál

Képezzük az $x^{2}+1$ polinom összes többszöröséből álló halmazt, tehát az összes lehetséges polinomot, amit csak megkaphatunk úgy, hogy a $x^{2}+1$ polinomot bármi más polinommal szorozzuk. Jelöljük ezt a halmazt a $(x^{2}+1)$ jelöléssel.

$(x^{2}+1):=\left\lbrace \;P(x)\in \mathbb {R} [x]\;:\;\exists Q(x)\in \mathbb {R} [x]\;\;P(X)=(x^{2}+1)\cdot Q(x)\;\right\rbrace$

vagyis az $x^{2}+1$ polinom összes polinomtöbbszörösei, szóval mindazok a polinomok, amelyeknek az $x^{2}+1$ polinom osztója (a polinomok közt bevezetett oszhatóság szerint):

$(x^{2}+1):=\left\lbrace \;P(x)\in \mathbb {R} [x]\;:\;x^{2}+1\mid P(X)\;\right\rbrace$

Ennek a halmaznak van néhány fontos tulajdonsága. Hasonló tulajdonsága van, mint a páros számoknak, az alábbi értelemben:

1. A páros számokat egymással öszeadva, újra páros számot kapok.
2. Páros számot tetszőleges (tehát nem fetételenül páros) számmal szorozva, továbbra is páros számot kapok.

Ugy mondjuk ezt, hogy a páros számok halmaza az egész számok gyűrűjének egyik ideálja. Ugyanez a fontos tulajdonság nemcsak a páros számok halmazára (a 2 összes többszörösének halmazára) igaz, hanem tetszőleges a szám összes többszöröseinek halmazára is.

A fenti $(x^{2}+1)$ halmaz is rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. Ez nem meglepő, hiszen őt is úgy kaptuk meg, mint „valaminek az összes többszöröseiből álló halmaz”, noha itt nem valamilyen szám (számszoros) többszöreseiről, hanem az $x^{2}+1$ polinom (polinomszoros) többszöröseiről van szó. Tehát: az $x^{2}+1$ polinom (polinomszoros) többszöröseiből álló $(x^{2}+1)$ halmazra igaz az, hogy:

1. Tetszőleges két elemét összeadva, az így kapott polinom is tekinthető az $x^{2}+1$ polinom valamilyen (alkalmas) többszörösének, tehát ez is eleme az $(x^{2}+1)$ halmaznak. Egyfajta zártság teljesül tehát: „az összeadás nem vezet ki a halmazból”.
2. Még érdekesebb tulajdonság teljesül tetszőleges polinommal való szorzásra. Itt nemcsak a halmaz elemeit szorozhatom szabadon egymás között, hanem a halmaz elemeit tetszőleges (tehát nem feltétlenül e halmazbeli) polinommal is nyugodtan szorozhatom: nem jutok ki a halmazból, ilyen értelemben igen szoros zártság teljesül a szorzásra.

Ha egy gyűrűnek egy részhalmaza a fenti két kritériumnak eleget tesz, akkor nevezzük őt a gyűrű (egyik) ideáljának. Az $(x^{2}+1)$ halmaz a $\mathbb {R} [x]$ polinomgyűrű egyik ideálja.

Faktorgyűrű

Az $\mathbb {R} [x]$ polinomgyűrű elemeit csoportosítsuk osztályokba a „$(x^{2}+1)$ ideál mentén”. Erről a műveletről nehéz röviden írni, analóg azzal, ahogy az egész számokat paritás alapján páros és páratlan osztályokba soroljuk, és aztán általános összefüggéseket írunk fel

• páros $\cdot$ páros = páros
• páros $\cdot$ páratlan = páros
• páros + páros = páros
• páros + páratlan = páratlan
• páratlan + páratlan = páros.

Tulajdonképpen maguk ezek az osztályok is számokként viselkednek. Jelöljük a páros számok osztályát [0]-val, a páratlanokét [1]-gyel (a 2-vel való osztási maradék alapján), mintegy a 0 és a 1 „reprezentálja” az őt tartalmazó [0] ill. [1] paritási osztályt. Máris látjuk, hogy egy új számstruktúrát kapunk. Vizsgáljuk meg ennek a tulajdonságait, milyen összefüggések teljesülnek rajta:

Összeadótábla

+	[0]	[1]
[0]	[0]	[1]
[1]	[1]	[0]

Szorzótábla

$\cdot$	[0]	[1]
[0]	[0]	[0]
[1]	[0]	[1]

Ellenőrizhető, hogy e sajátos, kételemű struktúrán teljesülnek a legfontosabb összefüggések, amiket a számoktól elvárunk (kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás), általában a gyűrűaxiómák. sőt még az is teljesül, hogy minden nem nulla számra (itt tehát éppen az [1]-re) értelmezhető a vele való osztás fogalma. Vagyis nemcsak a gyűrűaxiómák, de ezen az ennél is erősebb testaxiómák is teljesülnek. Az összes testaxióma teljesül, testet kaptunk tehát, egy sajátos „bináris” testet. Ezt a kételemű testet jelöljük a továbbiakban ${\mathcal {F}}_{2}$ jellel!

Összefoglalva: az egész számok gyűrűjéből a páros számok ideálja útján való ún. faktorgyűrűképzés eredményeképp eljutottunk a kételemű testig.

$\mathbb {Z} /(2)\equiv {\mathcal {F}}_{2}$

Ahogy az egész számok gyűrűjéből a páros számok ideálja „mentén” megkaptuk ezt a „bináris” testet, úgy a valós számtest fölötti polinomok gyűrűjéből is a $(x^{2}+1)$ ideállal végzett osztályozás révén megkaphatunk egy újabb gyűrűt

$\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$

ráadásul ez egyben testnek is fog bizonyulni.

Izomorfia

Ez éppen „ugyanolyan szekezetű, mint” a komplex számok teste.

$\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)\equiv \mathbb {C}$

Akár definiálhatnánk is a komplex számok testét ez alapján

$\mathbb {C} :=\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$

bár – valószínűleg didaktikai okokból – nem így szokták az oktatásban bevezetni a komplex számok fogalmát, mivel az Argand-sík révén való bevezetés kezdetben jóval szemléletesebb, mint az absztrakt algebra fogalomtárával való bajlódás. Nem mintha nem lenne termékeny dolog az algebrai modell, de kezdetben nem látszik annyira a haszna (didaktikai értelemben), hogy mindjárt az elején így vezessék be.

Műveletek illusztrációja

A szorzás az érdekesebbik dolog, azon szemeltetjük:

$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$

$P(x)=(x^{2}+1)\cdot Q_{P}(x)+R_{P}(x)$ ahol $\mathrm {gr} (R(x))<2\lor R(x)=0$

Nézzük, polinomokkal már megy-e:

$(bx+a)(dx+c)=bdx^{2}+adx+bcx+ac=bdx^{2}+(ad+bc)x+ac$

$bdx^{2}+(ad+bc)x+ac=(x^{2}+1)\cdot Q_{P}(x)+R_{P}(x)$

$bdx^{2}+(ad+bc)x+ac=(x^{2}+1)\cdot bd+R_{P}(x)$

$bdx^{2}+(ad+bc)x+ac=\underbrace {(x^{2}+1)\cdot bd} _{bdx^{2}+bd}+R_{P}(x)$

$bdx^{2}+(ad+bc)x+ac=bdx^{2}\underbrace {+bd-bd} _{\mathrm {Levonjuk\;a\;hibat} }+(ad+bc)x+ac$

$bdx^{2}+(ad+bc)x+ac=\underbrace {bdx^{2}+bd} _{(x^{2}+1)\cdot Q_{P}(X)}\underbrace {-bd+(ad+bc)x+ac} _{R_{P}(x)}$

$bdx^{2}+(ad+bc)x+ac=\underbrace {bdx^{2}+bd} _{(x^{2}+1)\cdot Q_{P}(X)}\underbrace {(ad+bc)x+(ac-bd)} _{R_{P}(x)}$

$R_{P}(x)\equiv _{(x^{2}+1)}P(x)$

$(ad+bc)x+(ac-bd)\equiv _{(x^{2}+1)}bdx^{2}+(ad+bc)x+ac$

$(ad+bc)x+(ac-bd)\equiv _{(x^{2}+1)}(bx+a)(dx+c)$

Testbővítések

A testbővítéseknek hatalmas elmélete van, de arról végkép nem tudok semmit.

$\mathbb {R} (\mathrm {i} )\equiv \mathbb {C}$